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18.已知a>0,f(x)=acosπx+(1-x)sinπx,x∈[0,2],则f(x)所有的零点之和为2.

分析 x=1,$\frac{1}{2}$,$\frac{3}{2}$时,f(x)≠0,因此都不是函数f(x)的零点.由f(x)=acosπx+(1-x)sinπx=0,化为:tanπx=$\frac{a}{x-1}$,(x≠1).分别作出函数y=tanπx,y=$\frac{a}{x-1}$,(x≠1)的图象,则此两函数的图象都关于(1,0)成中心对称,即可得出.

解答 解:x=1时,f(1)=acosπ=-a<0,因此1不是函数f(x)的零点.同理x=$\frac{1}{2}$,$\frac{3}{2}$,也不是函数f(x)的零点.
由f(x)=acosπx+(1-x)sinπx=0,化为:tanπx=$\frac{a}{x-1}$,(x≠1,$\frac{1}{2}$,$\frac{3}{2}$).
作出函数y=tanπx,y=$\frac{a}{x-1}$,(x≠1)的图象,
则此两函数的图象都关于(1,0)成中心对称,
由函数的单调性与对称性可得:x∈[0,2],两函数y=tanπx,y=$\frac{a}{x-1}$,(x≠1)的图象有且仅有两个交点,并且关于(1,0)成中心对称,不妨设交点的横坐标分别为x1,x2
∴x1+x2=2.
故答案为:2.

点评 本题考查了通过函数的图象的交点得出函数的零点,考查了数形结合、推理能力与计算能力,属于中档题.

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