Question

如图，在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AB⊥AC，AB=AC=

1

2

AA1，D是AA₁的中点，则BC₁与平面BCD所成的角正弦值为（　　）

• A．

  7

  3

• B．

  14

  7

• C．

  14

  2

• D．

  2

  3

Answer 1

分析：分别以

AB

、

AC

、

AA1

的方向为x轴、y轴、z轴的正方向建立空间直角坐标系，不妨设AB=AC=1，AA₁=2，易求平面BCD的一个法向量

n

，设BC₁与平面BCD所成的角为θ，则sinθ=|cos＜

BC1

，

n

＞|，根据向量运算求出即可．

解答：解：分别以

AB

、

AC

、

AA1

的方向为x轴、y轴、z轴的正方向建立空间直角坐标系，
不妨设AB=AC=1，AA₁=2，则A（0，0，0），B（1，0，0），C（0，1，01），D（0，0，1），C₁（0，1，2），
所以

BD

=（-1，0，1），

BC

=（-1，1，0），

BC1

=（-1，1，2），
设

n

=（x，y，z）为平面BCD的一个法向量，则

BD • n =0 BC • n =0

，即

-x+z=0 -x+y=0

，取

n

=（1，1，1），
设BC₁与平面BCD所成的角为θ，则sinθ=|cos＜

BC1

，

n

＞|=

| BC1 • n |

| BC1 || n |

=

|-1+1+2|

6 × 3

=

2

3

，
故选D．

点评：本题考查二面角的平面角的求法，考查空间向量的运算，解决本题的关键是正确理解线面角与方向向量与法向量夹角的关系．