Question

7．已知f（x）=x³+f′（$\frac{2}{3}$）x²-x，则f（x）的图象在点（$\frac{2}{3}$，f（$\frac{2}{3}$））处的切线斜率是-1．

Answer 1

分析 根据f（x）解析式确定出f′（x）解析式，把x=$\frac{2}{3}$代入计算求出f′（$\frac{2}{3}$）的值，即为所求切线的斜率．

解答 解：∵f（x）=x³+f′（$\frac{2}{3}$）x²-x，
∴f′（x）=3x²+2f′（$\frac{2}{3}$）x-1，
把x=$\frac{2}{3}$代入得：f′（$\frac{2}{3}$）=3×（$\frac{2}{3}$）²+2f′（$\frac{2}{3}$）×$\frac{2}{3}$-1，
解得：f′（$\frac{2}{3}$）=-1，
则f（x）的图象在点（$\frac{2}{3}$，f（$\frac{2}{3}$））处的切线斜率是-1，
故答案为：-1

点评 此题考查了利用导数研究曲线上某点切线方程，求出f（x）的导函数是解本题的关键．