Question

11．已知数列{a_n}的首项为a₁，公差为d（0＜d＜2π）的等差数列，若数列{sina_n}是等比数列，则其公比为（　　）

• A． 1
• B． -1
• C． ±1
• D． 2

Answer 1

分析 数列{a_n}是首项为a₁，公差为d（0＜d＜2π）的等差数列，a_n=a₁+（n-1）d，由于数列{sina_n}是等比数列，可得n≥2，$\frac{sin[{a}_{1}+nd]}{sin[{a}_{1}+（n-1）d]}$=$\frac{sin（{a}_{1}+d）}{sin{a}_{1}}$，利用积化和差与和差化积即可得出．

解答 解：数列{a_n}是首项为a₁，公差为d（0＜d＜2π）的等差数列，
∴a_n=a₁+（n-1）d，
∵数列{sina_n}是等比数列，
∴n≥2，$\frac{sin[{a}_{1}+nd]}{sin[{a}_{1}+（n-1）d]}$=$\frac{sin（{a}_{1}+d）}{sin{a}_{1}}$，
∴sina₁sin（a₁+nd）=sin（a₁+d）sin[a₁+（n-1）d]，
积化和差得cos（2a₁+nd）-cosnd=cos（2a₁+nd）-cos（n-2）d，
∴cos（n-2）d-cosnd=0，
和差化积得2sin[（n-1）d]sind=0，对任意的正整数n都成立，
∴sind=0，0＜d＜2π，
∴d=π．
由①，公比q=-1．
故选：B．

点评 本题考查了等差数列与等比数列的通项公式及其性质、三角函数和差化积，考查了推理能力与计算能力，属于难题．