Question

（2012•朝阳区一模）设函数f(x)=

eax

x2+1

，a∈R．
（Ⅰ）当a=1时，求曲线y=f（x）在点（0，f（0））处的切线方程；
（Ⅱ）求函数f（x）单调区间．

Answer 1

分析：（I）先求导数f'（x），欲求出切线方程，只须求出其斜率即可，故先利用导数求出在x=0处的导函数值，再结合导数的几何意义即可求出切线的斜率，从而问题解决．
（II）对字母a进行分类讨论，再令f'（x）大于0，解不等式，可得函数的单调增区间，令导数小于0，可得函数的单调减区间．

解答：解：因为f(x)=

eax

x2+1

，所以f′(x)=

eax(ax2-2x+a)

(x2+1)2

．
（Ⅰ）当a=1时，f(x)=

ex

x2+1

，f′(x)=

ex(x2-2x+1)

(x2+1)2

，
所以f（0）=1，f'（0）=1．
所以曲线y=f（x）在点（0，f（0））处的切线方程为x-y+1=0．…（4分）
（Ⅱ）因为f′(x)=

eax(ax2-2x+a)

(x2+1)2

=

eax

(x2+1)2

(ax2-2x+a)，…（5分）
（1）当a=0时，由f'（x）＞0得x＜0；由f'（x）＜0得x＞0．
所以函数f（x）在区间（-∞，0）单调递增，在区间（0，+∞）单调递减．…（6分）
（2）当a≠0时，设g（x）=ax²-2x+a，方程g（x）=ax²-2x+a=0的判别式△=4-4a²=4（1-a）（1+a），…（7分）
①当0＜a＜1时，此时△＞0．
由f'（x）＞0得x＜

1- 1-a2

a

，或x＞

1+ 1-a2

a

；
由f'（x）＜0得

1- 1-a2

a

＜x＜

1+ 1-a2

a

．
所以函数f（x）单调递增区间是(-∞，

1- 1-a2

a

)和(

1+ 1-a2

a

，+∞)，
单调递减区间(

1- 1-a2

a

，

1+ 1-a2

a

)．…（9分）
②当a≥1时，此时△≤0．所以f'（x）≥0，
所以函数f（x）单调递增区间是（-∞，+∞）．…（10分）
③当-1＜a＜0时，此时△＞0．
由f'（x）＞0得

1+ 1-a2

a

＜x＜

1- 1-a2

a

；
由f'（x）＜0得x＜

1+ 1-a2

a

，或x＞

1- 1-a2

a

．
所以当-1＜a＜0时，函数f（x）单调递减区间是(-∞，

1+ 1-a2

a

)和(

1- 1-a2

a

，+∞)，
单调递增区间(

1+ 1-a2

a

，

1- 1-a2

a

)．…（12分）
④当a≤-1时，此时△≤0，f'（x）≤0，所以函数f（x）单调递减区间是（-∞，+∞）．…（13分）

点评：本题以三次函数为载体，主要考查函数单调性的应用、利用导数研究曲线上某点切线方程、不等式的解法等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想、化归与转化思想．属于中档题．