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    【题目】已知一个正四面体纸盒的俯视图如图所示，其中四边形ABCD是边长为的正方形，若在该正四面体纸盒内放一个正方体，使正方体可以在纸盒内任意转动，则正方体棱长的最大值是_____.

    【答案】

    【解析】

    由一个正四面体纸盒的俯视图如图所示，其中四边形ABCD是边长为的正方形，

    则正四面体的棱长，设此球的一个内接正方体的棱长为a，则，即可得答案.

    由一个正四面体纸盒的俯视图如图所示，其中四边形ABCD是边长为的正方形，

    则正四面体的棱长.

    先求出此正四面体的内切球，再求出此球的一个内接正方体即可.

    设此正四面体的应该内切球的半径为r，则4r S底面hS底面.

    ∴r.

    作AO⊥底面BCD，垂足为O点，O为底面正三角形的中心.

    AO2，∴r，

    设此球的一个内接正方体的棱长为a，则，解得.

    故答案为：.

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    （1）求证： 平面；

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    （1）证明：平面平面；

    （2）是线段上一点，记，是否存在实数，使二面角的余弦值为？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由.

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    【题目】随着科技的发展，网络已逐渐融入了人们的生活．网购是非常方便的购物方式，为了了解网购在我市的普及情况，某调查机构进行了有关网购的调查问卷，并从参与调查的市民中随机抽取了男女各100人进行分析，从而得到表（单位：人）

    经常网购

    偶尔或不用网购

    合计

    男性

    50

    100

    女性

    70

    100

    合计

    （1）完成上表，并根据以上数据判断能否在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为我市市民网购与性别有关？

    （2）①现从所抽取的女市民中利用分层抽样的方法抽取10人，再从这10人中随机选取3人赠送优惠券，求选取的3人中至少有2人经常网购的概率；

    ②将频率视为概率，从我市所有参与调查的市民中随机抽取10人赠送礼品，记其中经常网购的人数为，求随机变量的数学期望和方差．

    参考公式：

    0.15

    0.10

    0.05

    0.025

    0.010

    0.005

    0.001

    2.072

    2.706

    3.841

    5.024

    6.635

    7.879

    10.828

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    【题目】已知多面体中，、均垂直于平面，，，，是的中点．

    （1）求证：平面；

    （2）求直线与平面所成角的正弦值．

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    【题目】已知函数，

    （1）当时，求函数在处的切线方程；

    （2）若对任意的，都有恒成立，求a的取值范围；

    （3）函数的图像上是否存在两点，且，使得直线AB的斜率k满足：？若存在，求出与之间的关系；若不存在，请说明理由.

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    【题目】已知椭圆：经过两点，.

    （Ⅰ）求椭圆的标准方程；

    （Ⅱ）过椭圆的右焦点的直线交椭圆于，两点，且直线与以线段为直径的圆交于另一点（异于点），若，求直线的斜率.

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    【题目】2017年3月郑州市被国务院确定为全国46个生活垃圾分类处理试点城市之一，此后由郑州市城市管理局起草公开征求意见，经专家论证，多次组织修改完善，数易其稿，最终形成《郑州市城市生活垃圾分类管理办法》（以下简称《办法》）．《办法》已于2019年9月26日被郑州市人民政府第35次常务会议审议通过，并于2019年12月1日开始施行．《办法》中将郑州市生活垃圾分为厨余垃圾、可回收垃圾、有害垃圾和其他垃圾4类．为了获悉高中学生对垃圾分类的了解情况，某中学设计了一份调查问卷，500名学生参加测试，从中随机抽取了100名学生问卷，记录他们的分数，将数据分成7组：，，…，，并整理得到如下频率分布直方图：

    （1）从总体的500名学生中随机抽取一人，估计其分数不低于60的概率；

    （2）已知样本中分数小于40的学生有5人，试估计总体中分数在区间内的学生人数，

    （3）学校环保志愿者协会决定组织同学们利用课余时间分批参加“垃圾分类，我在实践”活动，以增强学生的环保意识．首次活动从样本中问卷成绩低于40分的学生中随机抽取2人参加，已知样本中分数小于40的5名学生中，男生3人，女生2人，求抽取的2人中男女同学各1人的概率是多少？

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