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    若矩阵M有特征向量
    e1
    =
    1
    0
    ，
    e2
    =
    0
    1
    ，且它们所对应的一个特征值分别为2，-1．
    （1）求矩阵M及其逆矩阵N
    （2）求N100
    2
    3
    ．
    分析：（1）设矩阵M=
    ab
    cd
    ，则
    1
    0
    是矩阵A的属于λ1=2的特征向量，则有
    2-a-b
    -c2-d
    1
    0
    =
    0
    0
    ①，
    0
    1
    是矩阵A的属于λ2=-1的特征向量，则有
    -1 -a-b
    -c  -1-d
    0
    1
    =
    0
    0
    ②，由此能够求出矩阵M及其逆矩阵N．
    （2）根据矩阵A的特征多项式求出矩阵A的特征值，由于
    2
    3
    =2
    e1
    +3
    e2
    ，∴N100
    2
    3
    =N100（2
    e1
    +3
    e2
    ）=2（N100
    e1
    ）+3N100
    e2
    ，求出值即可．
    解答：解：设矩阵M=
    ab
    cd
    ，这里a，b，c，d∈R，
    因为
    1
    0
    是矩阵A的属于λ1=2的特征向量，则有
    2-a-b
    -c2-d
    1
    0
    =
    0
    0
    ①，
    又因为
    0
    1
    是矩阵A的属于λ2=-1的特征向量，则有
    -1-a-b
    -c-1-d
    0
    1
    =
    0
    0
    ②，
    根据①②，则有
    2-a=0
    -c=0
    -b=0
    -1-d=0
    从而a=2，b=0，c=0，d=-1，因此 A=
    20
    0-1
    ，（6分）
    设A-1=
    ef
    gh
    ，则有
    ef
    gh
    20
    0-1
    =
    2e-f
    2g-h
    =
    10
    01
    ，
    则得
    2e=1
    -f=0
    2g=0
    -h=1
    从而 e=
    1
    2
    ，f=0，g=0，h=-1，因此A-1=
    1
    2
    		0
    0-1
    ．（10分）
    （2）根据题意
    e1
    =
    1
    0
    ，
    e2
    =
    0
    1
    分别是矩阵A-1属于特征值
    1
    2
    ，-1的特征向量，
    由于
    2
    3
    =2
    e1
    +3
    e2

    ∴N100
    2
    3
    =N100（2
    e1
    +3
    e2
    ）=2（N100
    e1
    ）+3N100
    e2
    =2(
    λ
    100
    1
    e1)+
    3λ
    100
    2
    e2=2×(
    1
    2
    )    100
    1
    0
    +3×(-1)100
    0
    1
    =
    2-99
    3
    ．
    点评：本题考查矩阵的性质和应用，考查学生会利用二阶矩阵的乘法法则进行运算，会求矩阵的特征值和特征向量．
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    A、选修4-1：几何证明选讲

       如图，已知梯形ABCD为圆内接四边形，AD//BC，过C作该圆的切线，交AD的延长线于E，求证：ΔABC∽ΔEDC。

    B、选修4-2：矩形与变换

    已知 为矩阵属于λ的一个特征向量，求实数a，λ的值及A2。

    C、选修4-4：坐标系与参数方程

       在平面直角坐标系xoy中，曲线C的参数方程为（α为参数），曲线D的参数方程为，（t为参数）。若曲线C、D有公共点，求实数m的取值范围。

    D、选修4-5：不等式选讲

       已知a，b都是正实数，且ab=2。求证：（1+2a）（1+b）≥9。

     

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