Question

已知，

lim

x→2

x2+cx+2

x-2

=a，且函数y=alnx+

b

x

+c在（1，e）上具有单调性，则b的取值范围是（　　）

• A、（-∞，1]∪[e，+∞]
• B、（-∞，0]∪[e，+∞]
• C、（-∞，e]
• D、[1，e]

Answer 1

分析：先由

lim

x→2

x2+cx+2

x-2

=a，求得a=1，c=-3，从而得到y=alnx+

b

x

+c=lnx+

b

x

-3，再由“函数y=alnx+

b

x

+c在（1，e）上具有单调性”转化为“y′=

1

x

-

b

x2

≥0或y′=

1

x

-

b

x2

≤0在（1，e）上恒成立”，再令t=

1

x

∈（

1

e

 ，1）转化为-bt²+t≥0或-bt²+t≤0在（

1

e

 ，1）上恒成立，由二次函数的性质求解．

解答：解：∵

lim

x→2

x2+cx+2

x-2

=a，
∴a=1，c=-3，
∴y=alnx+

b

x

+c=lnx+

b

x

-3
∵函数y=alnx+

b

x

+c在（1，e）上具有单调性
∴y′=

1

x

-

b

x2

≥0或y′=

1

x

-

b

x2

≤0在（1，e）上恒成立
∴令t=

1

x

∈（

1

e

 ，1）
∴-bt²+t≥0或-bt²+t≤0
∴b≤1或b≥e
故选A

点评：本题主要考查导数法研究函数的单调性，基本思路：当函数是增函数时，导数大于等于零恒成立，当函数是减函数时，导数小于等于零恒成立，然后转化为求相应函数的最值问题．