Question

20．如图，在四棱锥S-ABCD中，SA⊥平面ABCD，底面ABCD为直角梯形，AD∥BC，∠ABC=90°，SA=AB=AD=1，BC=2．
（I）求异面直线BC与SD所成角的大小；
（Ⅱ）求证：BC⊥平面SAB；
（Ⅲ）求直线SC与平面SAB所成角大小的正切值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由已知条件推导出异面直线AD与SC所成的角就是BC与SC所成的角（或其补角），由此能求出异面直线AD与SC所成角的大小．
（Ⅱ）由SA⊥平面ABCD，可证SA⊥BC，又BC⊥AB，即可证明BC⊥平面SAB；
（Ⅲ）由（Ⅱ）可知BC⊥平面SAB，可得直线SC与平面SAB所成角是∠SCB，由勾股定理求得SB的值，即可得解tan∠SCB=$\frac{SB}{BC}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$．

解答 解：（Ⅰ）直角梯形ABCD中，∵AD∥BC，
∴异面直线BC与SD所成的角就是AD与SD所成的角（或其补角）．
连结AC，BD…（3分）
由已知有SA=AD，∠SAD=90°，
∴△SAD是等腰直角三角形，∴∠SDA=45°，
∴异面直线BC与SD所成角为45°．
（Ⅱ）证明：∵SA⊥平面ABCD，BC?平面ABCD，
∴SA⊥BC，
又∵∠ABC=90°，即BC⊥AB，AB∩SA=A，
∴BC⊥平面SAB；
（Ⅲ）∵由（Ⅱ）可知BC⊥平面SAB；
∴直线SC与平面SAB所成角是∠SCB，
∵SA=AB=1，SA⊥AB，可得：SB=$\sqrt{S{A}^{2}+A{B}^{2}}$=$\sqrt{2}$，
∴BC=2，可得：tan∠SCB=$\frac{SB}{BC}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$．

点评 本题考查异面直线所成角的大小的求法，考查直线与平面所成角的正切值的求法，直线与平面垂直的判定，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养，属于中档题．