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已知a∈R,命题p:实系数一元二次方程x2+ax+2=0的两根都是虚数;命题q:存在复数z同时满足|z|=2且|z+a|=1.
(1)若命题p中根的虚部为整数,求实数a的值;
(2)若命题p、q同为真命题,求实数a的取值范围.
考点:二次函数的性质,复数代数形式的混合运算
专题:计算题,函数的性质及应用,数系的扩充和复数
分析:(1)由实系数一元二次方程x2+ax+2=0的两根都是虚数知△=a2-8<0,再令
±
8-a2
2
为非零整数求a;
(2)求命题p、q为真,再判断都为真时的要求即可.
解答: 解:(1)由已知可得△=a2-8<0,
-2
2
<a<2
2

于是方程的根为
-a±
8-a2
i
2

由方程的虚部为整数时,
±
8-a2
2
为非零整数,
∴a=±2.
(2)若命题p为真命题,由(1)得,-2
2
<a<2
2

若命题q为真命题,
则复平面上的圆x2+y2=4和圆(x+a)2+y2=1有交点,
于是1≤|a|≤3,
故两个命题同时为真,则实数a的取值范围是(-2
2
,-1]∪[1,2
2
).
点评:本题考查了二次方程的根的存在性及复数的定义,同时考查了复数的几何意义及命题的真假性的判断,属于中档题.
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y2
a2
+
x2
b2
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2
6
3
2
3
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d
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AB
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+
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2
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1
3
π
2
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6
).
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