Question

8．在平面直角坐标系xOy中，△OBC的边BC所在的直线方程是l：x-y-3=0
（1）如果一束光线从原点O射出，经直线l反射后，经过点（3，3），求反射后光线所在直线的方程：
（2）如果在△OBC中，∠BOC为直角，求△OBC面积的最小值．

Answer 1

分析 （1）由题意可知反射光线经过原点关于了的对称点和（3，3），由对称关系求出点的坐标可得直线方程；
（2）由题意设B（x₁，x₁-3），C（x₂，x₂-3），由直角可得x₁+x₂=$\frac{1}{3}$（2x₁x₂+9），由距离公式可得BC|的表达式，由二次函数可得．

解答 解：（1）设原点O（0，0）关于l的对称点为（m，n），
则$\left\{\begin{array}{l}{\frac{n-0}{m-0}•1=-1}\\{\frac{m}{2}-\frac{n}{2}-3=0}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{m=3}\\{n=-3}\end{array}\right.$，
由题意可知反射光线经过点（3，-3）和（3，3），
∴反射光线所在直线的方程为x=3；
（2）由题意设B（x₁，x₁-3），C（x₂，x₂-3），
∵∠BOC为直角，∴x₁x₂+（x₁-3）（x₂-3）=0，
化简可得x₁+x₂=$\frac{1}{3}$（2x₁x₂+9），
∴}BC|=$\sqrt{（{x}_{1}-{x}_{2}）^{2}+（{x}_{1}-3-{x}_{2}+3）^{2}}$
=$\sqrt{2}$•$\sqrt{（{x}_{1}-{x}_{2}）^{2}}$=$\sqrt{2}$•$\sqrt{（{x}_{1}+{x}_{2}）^{2}-4{x}_{1}{x}_{2}}$，
=$\sqrt{2}$•$\sqrt{\frac{1}{3}}$•$\sqrt{4（{x}_{1}{x}_{2}）^{2}+81}$
由二次函数可知当x₁x₂=0时，上式取最小值3$\sqrt{6}$．

点评 本题考查直线的对称性，涉及直线垂直关系和二次函数的最值，属中档题．