Question

已知函数f（x）=（x²+ax+3）e^x（x，a∈R）
（1）当a=0时，求函数f（x）的图象在A（1，f（1））处的切线方程．
（2）若函数y=f（x）为单调函数，求实数a的取值范围．
（3）当a=-3时，求f（x）的极小值．

Answer 1

分析：（1）利用导数的几何意义即可得到切线的斜率，进而得到切线方程；
（2）得出f′（x），函数y=f（x）为单调函数，则△≤0；
（3）得出f′（x），利用导数与函数的单调性、极值的关系即可得出．

解答：解：（1）当a=0时，f（x）=（x²+3）e^x，∴f′（x）=（x²+2x+3）e^x，∴f′（1）=6e，
而f（1）=4e，∴函数f（x）的图象在A（1，f（1））处的切线方程为y-4e=6e（x-1），化为y=6ex-2e．
（2）∵f′（x）=[x²+（a+2）x+a+3]e^x，及函数y=f（x）为单调函数，
∴△=（a+2）²-4（a+3）≤0，解得-2

2

≤a≤2

2

．
（3）当a=-3时，f（x）=（x²-3x+3）e^x，
∴f′（x）=（x²-x）e^x=x（x-1）e^x，
令f′（x）=0，解得x=0，1．
列表如下：
由表格可知：当x=1时，函数f（x）取得极小值，
且f（1）=e．

点评：熟练掌握利用导数研究函数的单调性、极值是解题的关键．