Question

选修4-5：不等式选讲
已知函数f（x）=log₂（|x+1|+|x-2|-m）．
（1）当m=7时，求函数f（x）的定义域；
（2）若关于x的不等式f（x）≥2的解集是R，求m的取值范围．

Answer 1

分析：（1）先求得|x+1|+|x-2|＞7，然后分类讨论去绝对值号，求解即可得到答案．
（2）由关于x的不等式f（x）≥2，得到|x+1|+|x-2|≥m+4．因为已知解集是R，根据绝对值不等式可得到|x+1|+|x-2|≥3，令m+4≤3，求解即可得到答案．

解答：解：（1）由题设知：当m=5时：|x+1|+|x-2|＞7，
不等式的解集是以下三个不等式组解集的并集：

x≥2 x+1+x-2＞7

，或

1≤x＜2 x+1-x+2＞7

，或

x＜1  -x-1-x+2＞7

，
解得函数f（x）的定义域为（-∞，-3）∪（4，+∞）；
（2）不等式f（x）≥2即|x+1|+|x-2|≥m+4，
∵x∈R时，恒有|x+1|+|x-2|≥|（x+1）-（x-2）|=3，
∴不等式|x+1|+|x-2|≥m+4解集是R，等价于m+4≤3，
∴m的取值范围是（-∞，-1]．

点评：本题主要考查绝对值不等式的应用问题，题中涉及到分类讨论的思想，考查学生的灵活应用能力，属于中档题目．