Question

若a＞0，b＞0，a³+b³=2，求证：a+b≤2，ab≤1．

Answer 1

解：（a+b）³-2³=a³+b³+3a²b+3ab²-8=3a²b+3ab²-6
∵a³+b³=2?6=3×2=3（a³+b³）
∴（a+b）³-2³=3（a²b+ab²-a³-b³）=3[ab（a+b）-（a³+b³）]
又∵a³+b³=（a+b）（a²-ab+b²）
∴（a+b）³-2³=3（a+b）[ab-（a²-ab+b²）]
=3（a+b）（-a²+2ab-b²）=-3（a+b）（a-b）²．
∵a＞0，b＞0，得a+b＞0，-3＜0且（a-b）²≥0
∴-3（a+b）（a-b）²≤0
∴（a+b）³-2³≤0?（a+b）³≤2³
∴结合不等式的基本性质，得a+b≤2，
∵a、b是正数，
∴2≤a+b≤2，可得ab≤1．命题得证．
分析：注意到已知条件是含有三次方的式子，因此想到将欲求证的式两边取三次方，再作差后利用用已知条件a³+b³=2代入得（a+b）³-2³=3a²b+3ab²-6=3（a²b+ab²-2），再利用已知条件2=a³+b³代入，再用立方和公式因式分解，提公因式可得（a+b）³-2³=-3（a+b）（a-b）²≤0．从而得到a+b≤2，最后结合基本不等式2≤a+b=2，得到ab≤1．
点评：本题借助于一个特殊不等式的证明为载体，着重考查了作差法比较大小、因式分解的技巧和基本不等式的证明等知识点，属于中档题．