【题目】已知函数.
(1)讨论的单调性.
(2)试问是否存在,使得对恒成立?若存在,求的取值范围;若不存在,请说明理由.
【答案】(1)见解析;(2) 存在;的取值范围为.
【解析】
(1),,
所以得,所以通过对与的大小关系进行分类讨论得的单调性;
(2)假设存在满足题意的的值,由题意需,所以由(1)的单调性求即可;
又因为对恒成立,所以可以考虑从区间内任取一个值代入,解出的取值范围,从而将的范围缩小减少讨论.
解:(1),.
当时,,在上单调递增
当时,,在上单调递减,在上单调递增
当时,在上单调递减,在,上单调递增;
当时,在上单调递减,在,上单调递增.
(2)假设存在,使得对恒成立.
则,即,
设,则存在,使得,
因为,所以在上单调递增,
因为,所以时即.
又因为对恒成立时,需,
所以由(1)得:
当时,在上单调递增,所以,
且成立,从而满足题意.
当时,在上单调递减,在,上单调递增,
所以
所以(*)
设,,则在上单调递增,
因为,
所以的零点小于2,从而不等式组(*)的解集为,
所以即.
综上,存在,使得对恒成立,且的取值范围为.
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【题目】如图,在地正西方向的处和正东方向的处各一条正北方向的公路和,现计划在和路边各修建一个物流中心和.
(1)若在处看,的视角,在处看测得,求,;
(2)为缓解交通压力,决定修建两条互相垂直的公路和,设,公路的每千米建设成本为万元,公路的每千米建设成本为万元.为节省建设成本,试确定,的位置,使公路的总建设成本最小.
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【题目】如图,在四棱锥中,,平面,底面为正方形,且.若四棱锥的每个顶点都在球的球面上,则球的表面积的最小值为_____;当四棱锥的体积取得最大值时,二面角的正切值为_______.
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【题目】如图,矩形ABCD中,AB=2AD=2,E为边AB的中点,将△ADE沿直线DE翻折成△DE,使平面DE⊥平面BCDE,若M为线段C的中点,下面四个命题中不正确的是( )
A.BM平面DEB.CE⊥平面DE
C.DEBMD.平面CD⊥平面CE
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【题目】凤鸣山中学的高中女生体重 (单位:kg)与身高(单位:cm)具有线性相关关系,根据一组样本数据(),用最小二乘法近似得到回归直线方程为,则下列结论中不正确的是( )
A.与具有正线性相关关系
B.回归直线过样本的中心点
C.若该中学某高中女生身高增加1cm,则其体重约增加0.85kg
D.若该中学某高中女生身高为160cm,则可断定其体重必为50.29kg.
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【题目】某学生对其亲属30人的饮食习惯进行了一次调查,并用如图所示的茎叶图表示30人的饮食指数(说明:图中饮食指数低于70的人,饮食以蔬菜为主;饮食指数高于70的人,饮食以肉类为主).
(1)根据以上数据完成下列列联表:
主食蔬菜 | 主食肉类 | 总计 | |
50岁以下 | |||
50岁以上 | |||
总计 |
(2)能否有99%的把握认为其亲属的饮食习惯与年龄有关?并写出简要分析.
参考公式和数据:,.
0.15 | 0.10 | 0.05 | 0.025 | 0.010 | 0.005 | 0.001 | |
2.072 | 2.706 | 3.841 | 5.024 | 6.635 | 7.879 | 10.828 |
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