Question

已知数{a_n}的各项均为正整数，且满足a_n+1=a_n²-2na_n+2，a₅=11．
（1）求a₁，a₂，a₃，a₄的值，并由此推测{a_n}的通项公式（不要求证明）；
（2）设Cn=

1

n(1+an)

，Tn=c1+c2+…+cn，是否存在最大的整数m，使得对任意正整数n，均有Tn＞

m

32

？若存在，求出m的值；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析：（1）分别把n=5，4，3，2代入a_n+1=a_n²-2na_n+2，分别求出a₁=3，a₂=5，a₃=7，a₄=9，从而猜想：a_n=2n+1．
（2）cn=

1

n(1+an)

=

1

2n(n+1)

=

1

2

(

1

n

-

1

n+1

)Tn=c1+c2++cn=

1

2

[(1-

1

2

)+(

1

2

-

1

3

)++(

1

n

-

1

n+1

)]=

1

2

(1-

1

n+1

)
而对于任意n∈N^*Tn+1-Tn=

1

2

(1-

1

n+2

)-

1

2

(1-

1

n+1

)=

1

2(n+1)(n+2)

＞0．数列T_n是递增数列，T_n的最小值为T1=

1

4

，由此可求出存在最大的整数7，使得对任意正整数n，均有T_n＞

m

32

成立．

解答：解：（1）由a₅=11，得11=a₄²-8a₄+2，解得a₄=9或a₄=-1（舍去）
由a₄=9，得9=a₃²-6a₃+2，解得a₃=7或a₃=-1（舍去）
由a₃=7，得7=a₂²-4a₂+2，解得a₂=5或a₂=-1（舍去）
由a₂=5，得5=a₁²-2a₁+2，解得a₁=3或a₁=-1（舍去）∴a₁=3，a₂=5，a₃=7，a₄=9
猜想：a_n=2n+1

（2）cn=

1

n(1+an)

=

1

2n(n+1)

=

1

2

(

1

n

-

1

n+1

)T_n
=c₁+c₂++c_n
=

1

2

[(1-

1

2

)+(

1

2

-

1

3

)++(

1

n

-

1

n+1

)]
=

1

2

(1-

1

n+1

)

而对于任意n∈N^*Tn+1-Tn=

1

2

(1-

1

n+2

)-

1

2

(1-

1

n+1

)=

1

2(n+1)(n+2)

＞0
∴数列T_n是递增数列
∴T_n的最小值为T1=

1

4

要使T_n＞

m

32

对任意n∈N^•总成立，只要T₁＞

m

32

即

1

4

＜

m

32

，∴m＜8
又m∈N^•，因此存在最大的整数7，使得对任意正整数n，均有T_n＞

m

32

成立

点评：本题考查数列和不等式的综合应用题，解题时要注意公式的灵活运用，合理地进行等价转化．