Question

8．利用|z²|=z•$\overline{z}$解下列各题：
（1）若|z|=1，求证：|$\frac{α-z}{1-\overline{α}z}$|=1（其中α∈C）；
（2）若|z|=1，求|z²-z+1|的最值．

Answer 1

分析 （1）由|z²|=z•$\overline{z}$=|z|²=1，化简|$\frac{α-z}{1-\overline{α}z}$|即可；
（2）由|z|=1，可设z=cosθ+isinθ，θ∈[0，2π），利用三角函数求出|z²-z+1|的最值．

解答 解：（1）∵|z²|=z•$\overline{z}$=|z|²=1，
∴|$\frac{α-z}{1-\overline{α}z}$|=$\frac{|α-z|}{|z•\overline{z}-\overline{α}•z|}$
=$\frac{|α-z|}{|z|•|\overline{α}-\overline{z}|}$
=$\frac{|α-z|}{|z|•|\overline{α-z}|}$
=$\frac{|α-z|}{1×|α-z|}$
=1；
（2）由|z|=1，可设z=cosθ+isinθ，θ∈[0，2π）；
∴|z²-z+1|=|（cosθ+isinθ）²-（cosθ+isinθ）+1|
=|（cos2θ-cosθ+1）+（sin2θ-sinθ）i|
=$\sqrt{{（cos2θ-cosθ+1）}^{2}{+（sin2θ-sinθ）}^{2}}$
=$\sqrt{3-4cosθ+2cos2θ}$
=$\sqrt{{4cos}^{2}θ-4cosθ+1}$
=|2cosθ-1|．
∴当cosθ=$\frac{1}{2}$时，|z²-z+1|有最小值为0，
当cosθ=-1时，|z²-z+1|有最大值为3．

点评 本题考查了复数的代数运算问题，也考查了求复数模长的最值问题，是基础题目．