Question

（08年唐山一中一模理）    设f(x) 是定义在R上的减函数，满足f(x+y)=f(x)•f(y)且f(0)=1,数列{a_n}

满足a₁=4，f(log₃f(-1-log₃=1 (n∈N^*)

（Ⅰ）求数列{a_n}的通项公式；

（Ⅱ）设S_n是数列{a_n}的前n项和, 试比较S_n与6n²-2的大小.

Answer 1

解析:(Ⅰ)由题设知f(log₃∙f(-1-log₃=1 (n∈N^*)可化为

 

,∵y=f(x)是定义在R上的单调减函数，

∴即

∴数列是以为首项，1为公差的等差数列。∴log₃即a_n=.

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(Ⅱ)S_n=a₁+a₂+a₃+???+a_n =4(1+3¹+3²+???+3^n-1)=2(3ⁿ-1)

当n=1时有S_n=6n²-2=4; 当n=2时有S_n=16<6n²-2=22; 当n=3时有S_n=6n²-2=52;

当n=4时有S_n=160>6n²-2=94; 当n=5时有S_n=484>6n²-2=148.

由此猜想当n≥4时, 有S_n>6n²-23^n-1>n².下面用数学归纳法证明：

①当n=1时显然成立；

②假设当n=k(k≥4,k∈N^*)时, 有3^k-1>k²; 当n=k+1时，有3^k=3?3^k-1>3k²,

∵k≥4∴k(k-1)≥12, ∴3k²-(k-1)²=2k(k-1)-1>0即3k²>(k+1)², ∴3^k>3k²>(k+1)², ∴3^k>(k+1)²,因此当n=k+1时原式成立.

由①②可知当n≥4时有3^n-1>n²即S_n>6n²-2.

综上可知当n=1,3时,有S_n=6n²-2；当n=2时,有S_n<6n²-2；当n≥4时,有S_n>6n²-2。………………12分