Question

已知圆C：x²+y²+4x=0，相互垂直的两条直线l₁、l₂都过点A（t，0）．
（Ⅰ）若圆心为M（

1

2

，m）的圆和圆C外切且与直线x=2相切，求圆M的方程；
（Ⅱ）若l₁、l₂截圆C所得的弦长均为

14

，求t的值．

Answer 1

分析：（I）确定圆心与半径，利用圆心为M（

1

2

，m）的圆和圆C外切且与直线x=2相切，建立方程组，即可求圆M的方程；
（Ⅱ）设出直线方程，利用l₁、l₂截圆C所得的弦长均为

14

，建立方程，即可求t的值．

解答：解：圆C：x²+y²+4x=0，即（x+2）²+y²=4，圆心为（-2，0），半径为2．…（1分）
（Ⅰ）设圆M的方程为(x-

1

2

)2+(y-m)2=r2…（2分）
依题意得

2- 1 2 =r ( 1 2 +2)2+m2=(2+r)2

…（4分）
解得

m= 6 r= 3 2

或

m=- 6 r= 3 2

…（6分）
∴圆M的方程为(x-

1

2

)2+(y-

6

)2=

9

4

或(x-

1

2

)2+(y+

6

)2=

9

4

．…（7分）
（Ⅱ）显然，l₁、l₂的斜率都是存在的，设l₁：y=k（x-t），则l2：y=-

1

k

(x-t)…（8分）
则由题意，得圆心到直线l₁、l₂的距离均为

22-( 14 2 )2

=

2

2

…（9分）
∴

|2k+tk|

k2+1

=

2

2

，

|2+t|

k2+1

=

2

2

…（11分）
解得|k|=1…（12分）
即|t+2|=1，解得t=-3或-1  …（14分）

点评：本题考查圆的标准方程，考查直线与圆的位置关系，考查学生的计算能力，属于中档题．