Question

如图，已知矩形ABCD中，AB=10，BC=6，将矩形沿对角线BD把△ABD折起，使A移到A₁点，且A₁在平面BCD上的射影O恰好在CD上．
（1）求证：BC⊥A₁D；
（2）求证：平面A₁BC⊥平面A₁BD；
（3）求三棱锥A₁-BCD的体积．

Answer 1

【答案】分析：（1）由A₁在平面BCD上的射影O在CD上得A₁O⊥平面BCD⇒BC⊥A₁O；又BC⊥CO⇒BC⊥平面A₁CD⇒BC⊥A₁D；
（2）先由ABCD为矩形⇒A₁D⊥A₁B，再由（Ⅰ）知A₁D⊥BC⇒A₁D⊥平面A₁BC，即可得到平面A₁BC⊥平面A₁BD；
（3）把求三棱锥A₁-BCD的体积转化为求三棱锥B-A₁CD的体积即可．
解答：证明：（1）连接A₁O，
∵A₁在平面BCD上的射影O在CD上，
∴A₁O⊥平面BCD，又BC?平面BCD
∴BC⊥A₁O
又BC⊥CO，A₁O∩CO=O，
∴BC⊥平面A₁CD，又A₁D?平面A₁CD，
∴BC⊥A₁D

（2）∵ABCD为矩形，∴A₁D⊥A₁B由（Ⅰ）知A₁D⊥BC，A₁B∩BC=B
∴A₁D⊥平面A₁BC，又A₁D?平面A₁BD
∴平面A₁BC⊥平面A₁BD
（3）∵A₁D⊥平面A₁BC，
∴A₁D⊥A₁C．
∵A₁D=6，CD=10，∴A₁C=8，
∴V=V==48．
故所求三棱锥A₁-BCD的体积为：48．
点评：本题是对线线垂直以及面面垂直和三棱锥的体积计算的综合考查．在证明面面垂直时，其常用方法是在其中一个平面内找两条相交直线和另一平面内的某一条直线垂直