Question

在△ABC中，根据下列条件解三角形，则其中有两解的是（　　）

A．b=10∠A=45°∠C=70°

B．a=20 c=48∠B=60°

C．a=7 b=5∠A=98°

D．a=14 b=16∠A=45°

Answer 1

分析：A、由A和C的度数，利用三角形的内角和定理求出B的度数，从而得到sinA，sinB及sinC的值，再由b的值，利用正弦定理求出a与c的值，本选项只有一解；
B、由a，c及cosB的值，利用余弦定理求出b的值，再利用余弦定理表示出cosC，发现其值小于0，即C为钝角，c为最大边，故本选项只有一解；
C、由a，b及sinA的值，利用正弦定理求出sinB的值，由A为钝角，即为三角形的最大角，得到B只有一解，从而求出c也只有一解；
D、由a，b及sinA，利用正弦定理求出sinB的值，再由B的范围，利用特殊角的三角函数值即可求出B有两解，本选项有两解．

解答：解：A、由∠A=45°，∠C=70°，
得到∠B=65°，又b=10，
根据正弦定理

a

sinA

=

b

sinB

=

c

sinC

得：
a=

10sin45°

sin65°

，c=

10sin70°

sin65°

，本选项只有一解；
B、由a=20，c=48，∠B=60°，
根据余弦定理得：b²=a²+c²-2ac•cosB=400+2304-960=1744，
∴b²=1744，
则cosC=

a2+b2-c2

2ab

＜0，得到C为钝角，故c为最大边，
本选项只有一解；
C、由a=7，b=5，∠A=98°，
根据正弦定理

a

sinA

=

b

sinB

得，sinB=

5sin98°

7

，
由∠A=98°为钝角，即最大角，得到B只能为锐角，
故本选项只有一解；
D、由a=14，b=16，∠A=45°，
根据正弦定理

a

sinA

=

b

sinB

得：
sinB=

16× 2 2

14

=

4 2

7

，
由0＜B＜135°，则B有两解，B=arcsin

4 2

7

或π-

4 2

7

，
本选项有两解，
故选D

点评：此题属于解直角三角形的题型，涉及的知识有：正弦定理，余弦定理，以及特殊角的三角函数值，正弦、余弦定理很好的建立了三角形的边角关系，熟练掌握定理是解本题的关键．同时注意角度的范围．