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对于数列A:a1,a2,…,an,若满足ai∈{0,1}(i=1,2,3,…,n),则称数列A为“0-1数列”.定义变换T,T将“0-1数列”A中原有的每个1都变成0,1,原有的每个0都变成1,0.例如A:1,0,1,则T(A):0,1,1,0,0,1.设A0是“0-1数列”,令Ak=T(Ak-1),k=1,2,3,…
(Ⅰ) 若数列A2:1,0,0,1,0,1,1,0,1,0,0,1.求数列A1,A0
(Ⅱ) 若数列A0共有10项,则数列A2中连续两项相等的数对至少有多少对?请说明理由;
(Ⅲ)若A0为0,1,记数列Ak中连续两项都是0的数对个数为lk,k=1,2,3,…求lk关于k的表达式.
分析:(I)由变换T的定义“T将“0-1数列”A中原有的每个1都变成0,1,原有的每个0都变成1,0.”直接可得数列A1,A0
(II)数列A0中连续两项相等的数对至少有10对,对于任意一个“0-1数列”A0,A0中每一个1在A2中对应连续四项1,0,0,1,在A0中每一个0在A2中对应的连续四项为0,1,1,0,因此,共有10项的“0-1数列”A0中的每一个项在A2中都会对应一个连续相等的数对;
(III)设Ak中有bk个01数对,Ak+1中的00数对只能由Ak中的01数对得到,所以lk+1=bk,Ak+1中的01数对有两个产生途径:①由Ak中的1得到; ②由Ak中00得到,讨论k的奇偶可求出所求.
解答:解:(Ⅰ)由变换T的定义可得A1:0,1,1,0,0,1…(2分)A0:1,0,1…(4分)
(Ⅱ) 数列A0中连续两项相等的数对至少有10对                    …(5分)
证明:对于任意一个“0-1数列”A0,A0中每一个1在A2中对应连续四项1,0,0,1,在A0中每一个0在A2中对应的连续四项为0,1,1,0,
因此,共有10项的“0-1数列”A0中的每一个项在A2中都会对应一个连续相等的数对,
所以A2中至少有10对连续相等的数对.…(8分)
(Ⅲ) 设Ak中有bk个01数对,Ak+1中的00数对只能由Ak中的01数对得到,所以lk+1=bk,Ak+1中的01数对有两个产生途径:①由Ak中的1得到; ②由Ak中00得到,
由变换T的定义及A0:0,1可得Ak中0和1的个数总相等,且共有2k+1个,
所以bk+1=lk+2k
所以lk+2=lk+2k
由A0:0,1可得A1:1,0,0,1,A2:0,1,1,0,1,0,0,1
所以l1=1,l2=1,
当k≥3时,
若k为偶数,lk=lk-2+2k-2,lk-2=lk-4+2k-4,…l4=l2+22
上述各式相加可得lk=1+22+24+…+2k-2=
1(1-4
k
2
)
1-4
=
1
3
(2k-1)

经检验,k=2时,也满足lk=
1
3
(2k-1)

若k为奇数,lk=lk-2+2k-2lk-2=lk-4+2k-4…l3=l1+2.
上述各式相加可得lk=1+2+23+…+2k-2=1+
2(1-4
k-1
2
)
1-4
=
1
3
(2k+1)

经检验,k=1时,也满足lk=
1
3
(2k+1)

所以lk=
1
3
(2k+1),k为奇数
1
3
(2k-1),k为偶数
.…(13分)
点评:本题主要考查了数列的概念及简单表示法,以及数列的求和,同时考查了分类讨论的思想,属于中档题.
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科目:高中数学 来源: 题型:

对于数列A:a1,a2,…,an,若满足ai∈{0,1}(i=1,2,3,…,n),则称数列A为“0-1数列”.定义变换T,T将“0-1数列”A中原有的每个1都变成0,1,原有的每个0都变成1,0.例如A:1,0,1,则T(A):0,1,1,0,0,1.设A0是“0-1数列”,令Ak=T(Ak-1),k=1,2,3,…
(1)若数列A2:1,0,0,1,0,1,1,0,1,0,0,1.则数列A0
1,0,1
1,0,1

(2)若A0为0,1,记数列Ak中连续两项都是0的数对个数为lk,k=1,2,3,…,则l2n关于n的表达式.是
l2n=
1
3
(4n-1)
l2n=
1
3
(4n-1)

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科目:高中数学 来源: 题型:

(2012•西城区一模)对于数列A:a1,a2,a3(ai∈N,i=1,2,3),定义“T变换”:T将数列A变换成数列B:b1,b2,b3,其中bi=|ai-ai+1|(i=1,2),且b3=|a3-a1|.这种“T变换”记作B=T(A).继续对数列B进行“T变换”,得到数列C:c1,c2,c3,依此类推,当得到的数列各项均为0时变换结束.
(Ⅰ)试问A:2,6,4经过不断的“T变换”能否结束?若能,请依次写出经过“T变换”得到的各数列;若不能,说明理由;
(Ⅱ)设A:a1,a2,a3,B=T(A).若B:b,2,a(a≥b),且B的各项之和为2012.
(ⅰ)求a,b;
(ⅱ)若数列B再经过k次“T变换”得到的数列各项之和最小,求k的最小值,并说明理由.

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科目:高中数学 来源:北京市西城区2012届高三4月第一次模拟考试数学文科试题 题型:044

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(Ⅰ)试问A:2,6,4经过不断的“T变换”能否结束?若能,请依次写出经过“T变换”得到的各数列;若不能,说明理由;

(Ⅱ)设A:a1,a2,a3,B=T(A).若B:b,2,a(a≥b),且B的各项之和为2012.

(ⅰ)求a,b;

(ⅱ)若数列B再经过k次“T变换”得到的数列各项之和最小,求k的最小值,并说明理由.

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科目:高中数学 来源: 题型:解答题

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(Ⅰ)试问A:2,6,4经过不断的“T变换”能否结束?若能,请依次写出经过“T变换”得到的各数列;若不能,说明理由;
(Ⅱ)设A:a1,a2,a3,B=T(A).若B:b,2,a(a≥b),且B的各项之和为2012.
(ⅰ)求a,b;
(ⅱ)若数列B再经过k次“T变换”得到的数列各项之和最小,求k的最小值,并说明理由.

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(ⅱ)若数列B再经过k次“T变换”得到的数列各项之和最小,求k的最小值,并说明理由.

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