Question

对于数列A：a₁，a₂，…，a_n，若满足a_i∈{0，1}（i=1，2，3，…，n），则称数列A为“0-1数列”．定义变换T，T将“0-1数列”A中原有的每个1都变成0，1，原有的每个0都变成1，0．例如A：1，0，1，则T（A）：0，1，1，0，0，1．设A₀是“0-1数列”，令A_k=T（A_k-1），k=1，2，3，…
（Ⅰ） 若数列A₂：1，0，0，1，0，1，1，0，1，0，0，1．求数列A₁，A₀；
（Ⅱ） 若数列A₀共有10项，则数列A₂中连续两项相等的数对至少有多少对？请说明理由；
（Ⅲ）若A₀为0，1，记数列A_k中连续两项都是0的数对个数为l_k，k=1，2，3，…求l_k关于k的表达式．

Answer 1

分析：（I）由变换T的定义“T将“0-1数列”A中原有的每个1都变成0，1，原有的每个0都变成1，0．”直接可得数列A₁，A₀；
（II）数列A₀中连续两项相等的数对至少有10对，对于任意一个“0-1数列”A₀，A₀中每一个1在A₂中对应连续四项1，0，0，1，在A₀中每一个0在A₂中对应的连续四项为0，1，1，0，因此，共有10项的“0-1数列”A₀中的每一个项在A₂中都会对应一个连续相等的数对；
（III）设A_k中有b_k个01数对，A_k+1中的00数对只能由A_k中的01数对得到，所以l_k+1=b_k，A_k+1中的01数对有两个产生途径：①由A_k中的1得到； ②由A_k中00得到，讨论k的奇偶可求出所求．

解答：解：（Ⅰ）由变换T的定义可得A₁：0，1，1，0，0，1…（2分）A₀：1，0，1…（4分）
（Ⅱ） 数列A₀中连续两项相等的数对至少有10对                    …（5分）
证明：对于任意一个“0-1数列”A₀，A₀中每一个1在A₂中对应连续四项1，0，0，1，在A₀中每一个0在A₂中对应的连续四项为0，1，1，0，
因此，共有10项的“0-1数列”A₀中的每一个项在A₂中都会对应一个连续相等的数对，
所以A₂中至少有10对连续相等的数对．…（8分）
（Ⅲ） 设A_k中有b_k个01数对，A_k+1中的00数对只能由A_k中的01数对得到，所以l_k+1=b_k，A_k+1中的01数对有两个产生途径：①由A_k中的1得到； ②由A_k中00得到，
由变换T的定义及A₀：0，1可得A_k中0和1的个数总相等，且共有2^k+1个，
所以b_k+1=l_k+2^k，
所以l_k+2=l_k+2^k，
由A₀：0，1可得A₁：1，0，0，1，A₂：0，1，1，0，1，0，0，1
所以l₁=1，l₂=1，
当k≥3时，
若k为偶数，l_k=l_k-2+2^k-2，l_k-2=l_k-4+2^k-4，…l₄=l₂+2²．
上述各式相加可得lk=1+22+24+…+2k-2=

1(1-4 k 2 )

1-4

=

1

3

(2k-1)，
经检验，k=2时，也满足lk=

1

3

(2k-1)．
若k为奇数，l_k=l_k-2+2^k-2l_k-2=l_k-4+2^k-4…l₃=l₁+2．
上述各式相加可得lk=1+2+23+…+2k-2=1+

2(1-4 k-1 2 )

1-4

=

1

3

(2k+1)，
经检验，k=1时，也满足lk=

1

3

(2k+1)．
所以lk=

1 3 (2k+1)，k为奇数 1 3 (2k-1)，k为偶数

．…（13分）

点评：本题主要考查了数列的概念及简单表示法，以及数列的求和，同时考查了分类讨论的思想，属于中档题．