Question

【题目】已知椭圆与抛物线有共同的焦点，且离心率为，设分别是为椭圆的上下顶点

（1）求椭圆的方程；

（2）过点与轴不垂直的直线与椭圆交于不同的两点，当弦的中点落在四边形内（含边界）时，求直线的斜率的取值范围.

Answer 1

【答案】（1）（2）或

【解析】

（1）由已知条件得到方程组，解得即可；

（2）由题意得直线的斜率存在，设直线方程为，联立直线与椭圆方程，消元、列出韦达定理，由得到的范围，设弦中点坐标为则，所以在轴上方，只需位于内（含边界）就可以，即满足，得到不等式组，解得即可；

解：（1）由已知椭圆右焦点坐标为，离心率为，，，

所以椭圆的标准方程为；

（2）由题意得直线的斜率存在，设直线方程为

联立，消元整理得，，

由，解得

设弦中点坐标为，

所以在轴上方，只需位于内（含边界）就可以，

即满足，即，

解得或