已知命题p:点A(x,y)在圆(x-1)2+(y-1)2=1外,若命题p是假命题,则z=x+y的最小值为________.
2
分析:由命题p:点A(x,y)在圆(x-1)
2+(y-1)
2=1外,且命题p是假命题,知点A(x,y)在圆(x-1)
2+(y-1)
2=1内或点A(x,y)在圆(x-1)
2+(y-1)
2=1上,由此利用线性规划能求出z=x+y的最小值.
解答:∵命题p:点A(x,y)在圆(x-1)
2+(y-1)
2=1外,
且命题p是假命题,
∴点A(x,y)在圆(x-1)
2+(y-1)
2=1内或点A(x,y)在圆(x-1)
2+(y-1)
2=1上,
如图,
斜率为-1的切线m,n与圆有两个切点,其中m与圆的切点使得z取最小值,
n与圆的切点使得z取最大值,
∵O(0,0)与圆心(1,1)的斜率为k=1,
∴m,n与圆的切点分别是O(0,0)与圆心(1,1)的连线y=x与圆(x-1)
2+(y-1)
2=1的两个交点,
解方程组
,得(1-
,1-
),(1+
,1+
)
∴在点(1-
,1-
)处,z=x+y取最小值2.
故答案为:2.
点评:本题考查命题的真假判断与应用,是基础题.解题时要认真审题,仔细解答,注意线性规划的合理运用.