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(2012•增城市模拟)设f(x)=lnx+
ax
(a≥0,且为常数)

(1)求f(x)的单调区间;
(2)判断f(x)在定义域内是否有零点?若有,有几个?
分析:(1)先确定函数的定义域,然后求导数fˊ(x),在函数的定义域内解不等式fˊ(x)>0和fˊ(x)<0即可得到函数的单调区间;
(2))对a进行分类讨论:①当a=0时,f(x)=lnx有1个零点;②当a>0时,f(x)min=1+lna,再分情况:当1+lna>0,即a>
1
e
时无零点;当1+lna=0,即a=
1
e
时有1个零点;当1+lna<0,即0<a<
1
e
时有2个零点即可.
解答:解:(1)∵f(x)的定义域为(0,+∞)(1分)f′(x)=
1
x
-
a
x2
=
x-a
x2
=0
(2分)∴x=a(3分)
当a=0时,f'(x)>0,∴f(x)的单调区间为(0,+∞)且f(x)在(0,+∞)上单调增       (4分)
当a>0时,x∈(o,a)时,f'(x)<0x∈(a,+∞)时,f'(x)>0(5分)
所以f(x)的单调区间是(0,a),(a,+∞)且f(x)在(0,a)上单调减,在(a,+∞)上单调增(6分)
(2)①当a=0时,f(x)=lnx有1个零点x=1(7分)
②当a>0时,f(x)min=1+lna(8分)
当1+lna>0,即a>
1
e
时无零点                                 (9分)
当1+lna=0,即a=
1
e
时有1个零点x=
1
e
(10分)
当1+lna<0,即0<a<
1
e
时有2个零点                          (11分)
∵f(a)<0,f(x)在(0,a)上单调减,且取x=
1
ean
(n∈N+)
,当n>-
lna
a
时,
1
ean
<a
,有f(
1
ean
)=-na+aean>a•(2an-n)=a[(2a)n-n]
,当n足够大时f(
1
ean
)>0

∴f(x)在(0,a)上有1个零点                                      (12分)
f(x)在(a,+∞)上单调增,且f(1)=a>0
∴f(x)在(a,+∞)上有1个零点   (13分)
所以当a=0或a=
1
e
时,f(x)有1个零点;当0<a<
1
e
时,f(x)有2个零点;当a>
1
e
时,f(x)无零点.(14分)
点评:本题是函数的综合题,综合考查了利用导数求函数的单调区间,求函数的零点,及分类讨论思想,有一定的难度,是一道很好的函数题.
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2
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