Question

6．四棱锥S-ABCD中，底面ABCD为平行四边形，侧面SBC⊥底面ABCD．已知：∠ABC=45°，AB=2，BC=2$\sqrt{2}$，SB=SC，直线SD与平面ABCD所成角的正弦值为$\frac{\sqrt{11}}{11}$．O为BC的中点．
（1）证明：SA⊥BC；
（2）求二面角O-SA-B的大小．

Answer 1

分析 （1）连结AO，由SB=SC，得SO⊥BC，由余弦定理求出AO，根据勾股定理的逆定理可证AO⊥BC，于是BC⊥平面SAO，得出SA⊥BC．
（2）由侧面SBC⊥底面ABCD得SO⊥平面ABCDSO为棱锥的高，由勾股定理计算DO，由于sin$∠SDO=\frac{\sqrt{11}}{11}$，求出SO．以O为原点，OA，OB，OS所在直线分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出，二面角O-SA-B的大小．

解答 证明：（1）连结AO，
∵SB=SC，O是BC中点，∴SO⊥BC，
∵AB=2，BO=$\frac{1}{2}$BC=$\sqrt{2}$，∠ABC=45°，
∴AO=$\sqrt{A{B}^{2}+O{B}^{2}-2AB•OB•cos45°}$=$\sqrt{2}$，
∴AO²+OB²=AB²，∴OB⊥OA，
又AO?平面SAO，SO?平面SAO，AO∩SO=O，
∴BC⊥平面SAO，
∵SA?平面SAO，∴SA⊥BC．
解：（2）∵SO⊥平面ABCD，
∴∠SDO是SD与平面ABCD所成角，SO⊥OD，
∵直线SD与平面ABCD所成角的正弦值为$\frac{\sqrt{11}}{11}$．
∴sin$∠SDO=\frac{\sqrt{11}}{11}$，∴tan∠SDO=$\frac{SO}{OD}$=$\frac{\sqrt{10}}{10}$，
∵AO⊥BC，AD∥BC，∴AD⊥AO，
∴OD=$\sqrt{A{O}^{2}+A{D}^{2}}$=$\sqrt{10}$，SO=OD•tan∠SDO=1，
以O为原点，OA，OB，OS所在直线分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，
A（$\sqrt{2}$，0，0），B（0，$\sqrt{2}$，0），S（0，0，1），
$\overrightarrow{SA}$=（$\sqrt{2}$，0，-1），$\overrightarrow{SB}$=（0，$\sqrt{2}$，-1），
设平面SAB的法向量$\overrightarrow{n}$=（x，y，z），
则$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{SA}•\overrightarrow{n}=\sqrt{2}x-z=0}\\{\overrightarrow{SB}•\overrightarrow{n}=\sqrt{2}y-z=0}\end{array}\right.$，取x=1，得$\overrightarrow{n}$=（1，1，$\sqrt{2}$），
平面SOA的一个法向量$\overrightarrow{m}$=（0，1，0），
cos＜$\overrightarrow{m}，\overrightarrow{n}$＞=$\frac{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{n}}{|\overrightarrow{m}|•|\overrightarrow{n}|}$=$\frac{1}{2}$，
∴二面角O-SA-B的大小为$\frac{π}{3}$．

点评 本题考查异面直线垂直的证明，考查二面角的大小的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．