分析 (1)连结AO,由SB=SC,得SO⊥BC,由余弦定理求出AO,根据勾股定理的逆定理可证AO⊥BC,于是BC⊥平面SAO,得出SA⊥BC.
(2)由侧面SBC⊥底面ABCD得SO⊥平面ABCDSO为棱锥的高,由勾股定理计算DO,由于sin$∠SDO=\frac{\sqrt{11}}{11}$,求出SO.以O为原点,OA,OB,OS所在直线分别为x,y,z轴,建立空间直角坐标系,利用向量法能求出,二面角O-SA-B的大小.
解答 证明:(1)连结AO,
∵SB=SC,O是BC中点,∴SO⊥BC,
∵AB=2,BO=$\frac{1}{2}$BC=$\sqrt{2}$,∠ABC=45°,
∴AO=$\sqrt{A{B}^{2}+O{B}^{2}-2AB•OB•cos45°}$=$\sqrt{2}$,
∴AO2+OB2=AB2,∴OB⊥OA,
又AO?平面SAO,SO?平面SAO,AO∩SO=O,
∴BC⊥平面SAO,
∵SA?平面SAO,∴SA⊥BC.
解:(2)∵SO⊥平面ABCD,
∴∠SDO是SD与平面ABCD所成角,SO⊥OD,
∵直线SD与平面ABCD所成角的正弦值为$\frac{\sqrt{11}}{11}$.
∴sin$∠SDO=\frac{\sqrt{11}}{11}$,∴tan∠SDO=$\frac{SO}{OD}$=$\frac{\sqrt{10}}{10}$,
∵AO⊥BC,AD∥BC,∴AD⊥AO,
∴OD=$\sqrt{A{O}^{2}+A{D}^{2}}$=$\sqrt{10}$,SO=OD•tan∠SDO=1,
以O为原点,OA,OB,OS所在直线分别为x,y,z轴,建立空间直角坐标系,
A($\sqrt{2}$,0,0),B(0,$\sqrt{2}$,0),S(0,0,1),
$\overrightarrow{SA}$=($\sqrt{2}$,0,-1),$\overrightarrow{SB}$=(0,$\sqrt{2}$,-1),
设平面SAB的法向量$\overrightarrow{n}$=(x,y,z),
则$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{SA}•\overrightarrow{n}=\sqrt{2}x-z=0}\\{\overrightarrow{SB}•\overrightarrow{n}=\sqrt{2}y-z=0}\end{array}\right.$,取x=1,得$\overrightarrow{n}$=(1,1,$\sqrt{2}$),
平面SOA的一个法向量$\overrightarrow{m}$=(0,1,0),
cos<$\overrightarrow{m},\overrightarrow{n}$>=$\frac{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{n}}{|\overrightarrow{m}|•|\overrightarrow{n}|}$=$\frac{1}{2}$,
∴二面角O-SA-B的大小为$\frac{π}{3}$.
点评 本题考查异面直线垂直的证明,考查二面角的大小的求法,是中档题,解题时要认真审题,注意向量法的合理运用.
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