Question

过点M（3，1），作圆（x-2）²+（y-3）²=1的两条切线，切点为A、B
（1）求两切线MA、MB的方程；
（2）求线段AB的长度．

Answer 1

考点：圆的切线方程

专题：直线与圆

分析：（1）根据直线和圆相切，转化为圆心到直线的距离等于半径即可求直线MA、MB的方程；
（2）根据条件求出切点A的坐标，求直线AB的方程，利用弦长公式进行求解即可．

解答： 解：（1）由圆的标准方程得圆心坐标为C（2，3），半径R=1，
若切线斜率k不存在，则直线方程为x=3，
此时圆心到直线的距离d=3-2=1，满足直线和圆相切．
当切线斜率k存在时，设过M点的圆的切线方程为y+1=k（x-3）．即kx-y-3k-1=0．∵圆心C（2，3）到直线的距离为1．
即

|2k-3-3k-1|

1+k2

=

|k+4|

1+k2

=1，
∴k=-

15

8

．
∴所求的切线方程为y+1=-

15

8

（x-3）或x=3，
即15x+8y-37=0或x=3．
（2）由图象可知A（3，3），
CM的斜率k=

3-1

2-3

=-2，
则弦AB的斜率k=

1

2

，
则AB的方程为y-3=

1

2

（x-3），
即x-2y+3=0，
圆心C（2，3）到直线x-2y+3=0的距离d=

|2-6+3|

1+22

=

1

5

，
则线段AB的长度为2

R2-d2

=2

1- 1 5

=2

4 5

=

4 5

5

．

点评：本题主要考查直线和圆的位置关系的应用，利用直线和圆相切的等价条件是解决本题的关键．