Question

5．已知有相同的两焦点F₁，F₂的椭圆$\frac{{x}^{2}}{m}$+y²=1（m＞1）和双曲线$\frac{{x}^{2}}{n}$-y²=1（n＞0），P是它们的一个交点，则$\overrightarrow{P{F}_{1}}$•$\overrightarrow{P{F}_{2}}$等于（　　）

• A． 1
• B． $\frac{1}{2}$
• C． 0
• D． 随m，n的变化而变化

Answer 1

分析 利用双曲线和椭圆的定义、余弦定理和三角形的面积计算公式，即可得$\overrightarrow{P{F}_{1}}$•$\overrightarrow{P{F}_{2}}$．

解答 解：如图所示，不妨设两曲线的交点P位于双曲线的右支上，设|PF₁|=s，|PF₂|=t．
由双曲线和椭圆的定义可得$\left\{\begin{array}{l}{s+t=2\sqrt{m}}\\{s-t=2\sqrt{n}}\end{array}\right.$，
解得s²+t²=2m+2n，st=m-n．
在△PF₁F₂中，cos∠F₁PF₂=$\frac{{s}^{2}+{t}^{2}-4{c}^{2}}{2st}$=$\frac{2m+2n-4（m-1）}{2m-2n}$
∵m-1=n+1，
∴m-n=2，
∴cos∠F₁PF₂=0，∴∠F₁PF₂=90°．
∴$\overrightarrow{P{F}_{1}}$•$\overrightarrow{P{F}_{2}}$=0．
故选：C．

点评 本题考查椭圆与双曲线方程及其几何性质及代数运算能力．熟练掌握双曲线和椭圆的定义、余弦定理和向量的数量积计算公式是解题的关键．