Question

已知圆O：x²+y²=1，圆C：（x-4）²+y²=4，P（m，n）是圆O和圆C外一点．
（1）过点P作圆O的两切线PA、PB，如图①，试用m，n表示直线AB的斜率；
（2）过点P分别向圆O，圆C引两条切线PA，PB和PM，PN，其中A，B，M，N为切点如图②，试在直线x+y-4=0上求一点P，使AB⊥MN．

Answer 1

【答案】分析：（1）先求以OP为直径的圆的方程，再将其与已知圆O的方程相减，即得公共弦AB所在直线的方程，从而求得直线AB的斜率；
（2）要使AB⊥MN，只需要使得PO⊥PC即可，从而可求点P．
解答：解：（1）以OP为直径的圆的方程为：x²+y²-mx-ny=0①
又圆O：x²+y²=1②，
②-①得公共弦AB所在直线的方程：mx+ny=1，即直线AB的斜率为；
（2）由题意PO⊥PC，所以有，
又m+n-4=0，
解得m=2，n=2，即所求点P的坐标为（2，2）
点评：该题求解的关键是将求直线AB的斜率问题巧妙地转化为公共弦AB所在直线的方程，从而利用两圆相减进行求解．解答第（2）问时应充分利用平面几何知识，巧妙地将问题进行等价转化．