Question

已知函数f（x）=x-

1

x

，
（Ⅰ）求证：f（x）是奇函数；
（Ⅱ）判断f（x）在（-∞，0）上的单调性．

Answer 1

考点：函数奇偶性的判断,函数单调性的判断与证明

专题：函数的性质及应用

分析：（Ⅰ）根据函数的奇偶性的定义证明f（x）是奇函数；
（Ⅱ）根据函数单调性的定义即可证明f（x）在（-∞，0）上的单调性．

解答： 证明：（Ⅰ）函数的定义域为（-∞，0）∪（0，+∞），
则f（-x）=-x+

1

x

=-（x-

1

x

）=-f（x），
则f（x）是奇函数；
（Ⅱ）设x₁＜x₂＜0，
则f（x₁）-f（x₂）=x₁-

1

x1

-x₂+

1

x2

=（x₁-x₂）-

x2-x1

x1x2

=（x₁-x₂）（1+

1

x1x2

），
∵x₁＜x₂＜0，
∴x₁-x₂＜0，1+

1

x1x2

＞0，
∴（x₁-x₂）（1+

1

x1x2

）＞0，
即f（x₁）-f（x₂）＜0，
则f（x₁）＜f（x₂），
即函数f（x）在（-∞，0）上的单调递增．

点评：本题主要考查函数奇偶性的判断，以及利用函数单调性的定义判断函数的单调性，综合考查函数性质的应用．