Question

如图，已知，分别是正方形边、的中点，与交于点，、都垂直于平面，且， ，是线段上一动点．
（Ⅰ）求证：平面平面；
（Ⅱ）若平面，试求的值；
（Ⅲ）当是中点时，求二面角的余弦值．

Answer 1

法1：（Ⅰ）连结，
∵平面，平面，∴，
又∵，，
∴平面，
又∵，分别是、的中点，∴，
∴平面，又平面，
∴平面平面；
（Ⅱ）连结，
∵平面，平面平面，
∴，
∴，故 
（Ⅲ）∵平面，平面，∴，
在等腰三角形中，点为的中点，∴，
∴为所求二面角的平面角，
∵点是的中点，∴，
所以在矩形中，可求得，，，
在中，由余弦定理可求得，
∴二面角的余弦值为．
法2：（Ⅰ）同法1；
（Ⅱ）建立如图所示的直角坐标系，则，，，，
∴，，

设点的坐标为，平面的法向量为，则，
所以，即，令，则，，
故，
∵平面，∴，即，解得，
故，即点为线段上靠近的四等分点；故     
（Ⅲ），则，
设平面的法向量为，
则，即，令，
则，，即，
当是中点时，，则，
∴，
∴二面角的余弦值为．

略