Question

设a=lgz+lg[x（yz）^-1+1]，b=lgx^-1+lg（xyz+1），c=lgy+lg[（xyz）^-1+1]，记a，b，c中最大数为M，则M的最小值为______．

Answer 1

∵a=lgz+lg[x（yz）^-1+1]=lgz+lg（

x

yz

+1）=lg（

x

y

+z），b=lg（yz+

1

x

），c=lg（

1

xz

+y），
∴a+c=lg（

x

y

+z）（

1

xz

+y）=lg（

1

yz

+x+

1

x

+yz）≥lg（2+2）=2lg2，当且仅当x=1，且yz=1时取等号．
故a、c 中至少有一个大于或等于lg2，故有M≥lg2．
但当x=y=z=1时，a=b=c=lg2，此时，M=lg2．
综上可得，M的最小值为lg2，
故答案为 lg2．