Question

（2012•卢湾区一模）已知

a

、

b

是两个不共线的非零向量．
（1）设

OA

=

a

，

OB

=t

b

（t∈R），

OC

=

1

3

(

a

+

b

)，当A、B、C三点共线时，求t的值．
（2）如图，若

a

=

OD

，

b

=

OE

，

a

与

b

夹角为120°，|

a

|=|

b

|=1，点P是以O为圆心的圆弧

DE

上一动点，设

OP

=x

OD

+y

OE

（x，y∈R），求x+y的最大值．

Answer 1

分析：（1）利用向量共线定理，及已知向量建立等式，利用平面向量基本定理，即可得到结论；
（2）建立坐标系，用三角函数确定x+y，再利用辅助角公式，即可得到结论．

解答：解：（1）由题意，A、B、C三点共线，可设

AB

=k

BC

，（2分）
∵

OA

=

a

，

OB

=t

b

（t∈R），

OC

=

1

3

(

a

+

b

)，
∴

AB

=t

b

-

a

，

BC

=

1

3

a

+(

1

3

-t)

b

，
∴t

b

-

a

=

k

3

a

+k(

1

3

-t)

b

∴k=-3，t=

1

2

．（6分）
（2）以O为原点，OD为x轴建立直角坐标系，则D（1，0），E（-

1

2

，

3

2

）．
设∠POD=α（0≤α≤

2

3

π），则P（cosα，sinα），由

OP

=x

OD

+y

OE

，得cosα=x-

1

2

y，sinα=

3

2

y，于是y=

2

3

sinα，x=cosα+

1

3

sinα，（10分）
于是x+y=cosα+

3

sinα=2sin（α+

π

6

），
故当α=

π

3

时，x+y的最大值为2．（14分）

点评：本题考查向量知识的综合运用，考查三角函数知识，解题的关键是掌握向量共线定理，正确运用三角函数知识，属于中档题．