Question

已知曲线C的参数方程是

x=cosθ y=sinθ

（θ为参数），以直角坐标系xoy的原点为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为ρ（cosθ+sinθ）=4，则求曲线C上任意点M到直线l的距离的最大值为

 

．

Answer 1

考点：简单曲线的极坐标方程,参数方程化成普通方程

专题：选作题,坐标系和参数方程

分析：设曲线C上任意点M的坐标为（cosφ，sinφ）（0≤φ＜2π），由直线l的极坐标方程为ρ（cosθ+sinθ）=4，可得直线l的普通方程为x+y-4=0，利用点到直线的距离公式和正弦函数的单调性即可得出．

解答： 解：设曲线C上任意点M的坐标为（cosφ，sinφ）（0≤φ＜2π），
由直线l的极坐标方程为ρ（cosθ+sinθ）=4，可得直线l的普通方程为x+y-4=0，
点M到l的距离为d=

|cosφ+sinφ|

2

=

| 2 sin(φ+ π 4 )-4|

2

．
∵0≤φ＜2π，∴

π

4

≤φ+

π

4

＜

9π

4

，
∴-

2

-4≤

2

sin（φ+

π

4

）-4≤

2

-4，
当φ+

π

4

=

3π

2

，即φ=

5π

4

时，曲线C上任意点M到直线l的距离的最大值为2

2

+1．
故答案为：2

2

+1．

点评：本题考查了极坐标化为直角坐标、点到直线的距离公式、三角函数的单调性、直线与圆的方程，考查了推理能力和计算能力，属于中档题．