Question

双曲线C：

x2

a2

-

y2

b2

=1（a＞0，b＞0）的左，右焦点分别为F₁，F₂，其右支上存在一点P，使得PF₁与渐近线y=

b

a

x交于第一象限内的一点Q，且满足△F₁QF₂与△F₁PF₂的面积之比为

2

3

，则双曲线C的离心率e的取值范围为

 

．

Answer 1

考点：双曲线的简单性质

专题：计算题,圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：作F₁H₁，PH₂⊥渐近线l分别于H₁，H₂，则由三角形的面积公式可得，

S△F1QF2

S△F1PF2

=

QF1

PF1

=

QF1

PQ+QF1

=

2

3

，即有

PQ

QF1

=

1

2

，再由三角形F₁H₁Q∽三角形PH₂Q，有

PQ

QF1

=

1

2

，再将P向右移动，观察变化，考虑P在右顶点处时

PQ

QF1

＞

1

2

即可得到离心率的范围．

解答： 解：作F₁H₁，PH₂⊥渐近线l：y=

b

a

x分别于H₁，H₂，
则由三角形的面积公式可得，

S△F1QF2

S△F1PF2

=

QF1

PF1

=

QF1

PQ+QF1

=

2

3

，即有

PQ

QF1

=

1

2

，
由三角形F₁H₁Q∽三角形PH₂Q，得到

PQ

QF1

=

PH2

F1H1

=

1

2

，
由渐近线的含义发现随着P点向右运动，

PQ

QF1

=

PH2

F1H1

在减小，且趋于0，
所以只要P在右顶点处时

PQ

QF1

＞

1

2

即可，
此时即

PQ

QF1

=

a

c

＞

1

2

⇒1＜e＜2．
故答案为：（1，2）．

点评：本题考查双曲线的性质和运用，主要是渐近线的应用，考查离心率的取值范围，注意考虑特殊位置，属于中档题．