Question

（2011•广州模拟）已知正方形ABCD的边长为2，AC∩BD=O．将正方形ABCD沿对角线BD折起，使AC=a，得到三棱锥A-BCD，如图所示． 
（1）当a=2时，求证：AO⊥平面BCD；
（2）当二面角A-BD-C的大小为120°时，求二面角A-BC-D的正切值．

Answer 1

分析：（1）先根据AC=a=2得到AC²=AO²+CO²，进而得AO⊥CO，再结合AC，BD是正方形ABCD的对角线对应的AO⊥BD进而证明结论；
（2）先建立空间直角坐标系，结合二面角A-BD-C的大小为120°时对应的结论，进而求出两个半平面的法向量，即可求出结论．

解答：解：（1）证明：根据题意，在△AOC中，AC=a=2，AO=CO=

2

，
所以AC²=AO²+CO²，所以AO⊥CO．…（2分）
因为AC，BD是正方形ABCD的对角线，
所以AO⊥BD．…（3分）
因为BD∩CO=O，
所以AO⊥平面BCD；．…（4分）
（2）：由（1）知，CO⊥OD，如图，以O为原点，OC，OD所在的直线分别为x轴，y轴建立如图的空间直角坐标系O-xyz，…（5分）
则有O（0，0，0），D(0，

2

，0)，C(

2

，0，0)，B(0，-

2

，0)．
设A（x₀，0，z₀）（x₀＜0），则

OA

=(x0，0，z0)，

OD

=(0，

2

，0)．…（6分）
又设面ABD的法向量为n=（x₁，y₁，z₁），
则

n• OA =0 n• OD =0.

即

x0x1+z0z1=0 2 y1=0.

  
所以y₁=0，令x₁=z₀，则z₁=-x₀．
所以n=（z₀，0，-x₀）．…（8分）
因为平面BCD的一个法向量为m=（0，0，1），
且二面角A-BD-C的大小为120°，…（9分）
所以|cos?m，n＞|=|cos120°|=

1

2

，得z02=3x02．
因为|OA|=

2

，所以

x02+z02

=

2

．
解得x0=-

2

2

，z0=

6

2

．所以A(-

2

2

，0，

6

2

)．…（10分）
设平面ABC的法向量为l=（x₂，y₂，z₂），因为

BA

=(-

2

2

，

2

，

6

2

)，

BC

=(

2

，

2

，0)，
则

l• BA =0 l• BC =0.

，即

- 2 2 x2+ 2 y2+ 6 2 z2=0 2 x2+ 2 y2=0.

令x₂=1，则y2=-1，z2=

3

．
所以l=(1，-1，

3

)．…（12分）
设二面角A-BC-D的平面角为θ，
所以cosθ=|cos?l，m＞|=|

3

1+1+( 3 )2

=|=

15

5

．…（13分）
所以tanθ=

6

3

．
所以二面角A-BC-D的正切值为

6

3

．…（14分）

点评：本题主要考察用空间向量求平面间的夹角．解决这类问题的关键在于求出两个半平面的法向量．