Question

【题目】设数列{an}的前n项和为Sn ， 且对任意的n∈N*都有Sn=2an﹣n，
（1）求数列{an}的前三项a1 ， a2 ， a3；
（2）猜想数列{an}的通项公式an ， 并用数学归纳法证明；
（3）求证：对任意n∈N*都有 ．

Answer 1

【答案】
（1）令n=1得，S1=2a1﹣1=a1，故a1=1；

令n=2得，S2=2a2﹣2=a1+a2=1+a2，故a2=3；

令n=3得，S3=2a3﹣3=a1+a2+a3=1+3+a3，故a3=7

（2）由（1）可以猜想an=2n﹣1，下面用数学归纳法进行证明：

①当n=1时，结论显然成立；

②假设当n=k时结论成立，即ak=2k﹣1，

从而由已知Sn=2an﹣n可得：Sk=2ak﹣k=2（2k﹣1）﹣k=2k+1﹣k﹣2．

故Sk+1=2k+2﹣k﹣3．

∴ak+1=Sk+1﹣Sk=（2k+2﹣k﹣3）﹣（2k+1﹣k﹣2）=2k+1﹣1．

即，当n=k+1时结论成立．

综合①②可知，猜想an=2n﹣1成立．即，数列{an}的通项为an=2n﹣1

（3）∵an=2n﹣1，

∴an+1﹣an=（2n+1﹣1）﹣（2n﹣1）=2n，

∴ ，

∴对任意n∈N*都有

【解析】（1）分别将n=1，2，3代入Sn=2an﹣n中便可求出数列{an}的前三项a1 ， a2 ， a3的值；（2）先根据（1）中的答案猜想an的通项公式，然后分别讨论n=1和n≥2时an的表达式满足猜想即可证明；（3）根据（2）中求得的an的通项公式然后写出 的表达式即可证明对任意n∈N*都有 ．
【考点精析】根据题目的已知条件，利用数列的通项公式和数学归纳法的定义的相关知识可以得到问题的答案，需要掌握如果数列an的第n项与n之间的关系可以用一个公式表示，那么这个公式就叫这个数列的通项公式；数学归纳法是证明关于正整数n的命题的一种方法．