Question

（2012•江苏二模）如图，在C城周边已有两条公路l₁，l₂在点O处交汇，现规划在公路l₁，l₂上分别选择A，B两处为交汇点（异于点O）直接修建一条公路通过C城，已知OC=(

2

+

6

)km，∠AOB=75°，∠AOC=45°，设OA=xkm，OB=ykm．
（1）求y关于x的函数关系式并指出它的定义域；
（2）试确定点A、B的位置，使△OAB的面积最小．

Answer 1

分析：（1）根据△AOC的面积与△BOC的面积之和等于△AOB的面积，可得y=

2 2 x

x-2

(x＞2)．
（2）根据△OAB的面积S=

1

2

xysin75°=

6 + 2

8

xy，化简为

3 +1

2

[（x-2）+

4

x-2

+4]，再利用基本不等式求出
它的最小值．

解答：（1）因为△AOC的面积与△BOC的面积之和等于△AOB的面积，
所以

1

2

x(

2

+

6

)sin45°+

1

2

y(

2

+

6

)sin30°=

1

2

xysin75°，…（4分）
即

2

2

x(

2

+

6

)+

1

2

y(

2

+

6

)=

6 + 2

4

xy，所以，y=

2 2 x

x-2

，它的定义域为（2，+∞）．…（6分）
（2）△OAB的面积S=

1

2

xysin75°=

6 + 2

8

xy=

3 +1

2

•

x2

x-2

   …（8分）
=

3 +1

2

•

x2-4+4

x-2

=

3 +1

2

[（x+2）+

4

x-2

]=

3 +1

2

[（x-2）+

4

x-2

+4]
≥

3 +1

2

•（2

4

+4）=4（

3

+1）．    …（12分）
当且仅当x=4时取等号，此时y=4

2

．
故当OA=4km，OB=4

2

km时，△OAB面积的最小值为4(

3

+1)km2．  …（14分）

点评：本题主要考查求函数的解析式和定义域，基本不等式的应用，属于基础题．