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已知函数f(x)=eax-x,其中a≠0.

(1)若对一切x∈R,f(x)≥1恒成立,求a的取值集合.

(2)在函数f(x)的图像上取定两点A(x1,f(x1)),B(x2,f(x2))(x1<x2),记直线AB的斜率为K,问:是否存在x0∈(x1,x2),使>k成立?若存在,求x0的取值范围;若不存在,请说明理由.

答案:
解析:

  (Ⅰ)若,则对一切,这与题设矛盾,又

  故

  而

  当时,单调递减;当时,单调递增,故当时,取最小值

  于是对一切恒成立,当且仅当

  .①

  令

  当时,单调递增;当时,单调递减.

  故当时,取最大值.因此,当且仅当时,①式成立.

  综上所述,的取值集合为

  (Ⅱ)由题意知,

  令

  

  

  令,则

  当时,单调递减;当时,单调递增.

  故当

  从而

  所以

  因为函数在区间上的图像是连续不断的一条曲线,所以存在使单调递增,故这样的是唯一的,且.故当且仅当时,

  综上所述,存在使成立.且的取值范围为

  


提示:

本题考查利用导函数研究函数单调性、最值、不等式恒成立问题等,考查运算能力,考查分类讨论思想、函数与方程思想,转化与划归思想等数学思想方法.第一问利用导函数法求出取最小值对一切x∈R,f(x)1恒成立转化为,从而得出a的取值集合;第二问在假设存在的情况下进行推理,通过构造函数,研究这个函数的单调性及最值来进行分析判断.


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