已知函数f(x)=eax-x,其中a≠0.
(1)若对一切x∈R,f(x)≥1恒成立,求a的取值集合.
(2)在函数f(x)的图像上取定两点A(x1,f(x1)),B(x2,f(x2))(x1<x2),记直线AB的斜率为K,问:是否存在x0∈(x1,x2),使>k成立?若存在,求x0的取值范围;若不存在,请说明理由.
(Ⅰ)若,则对一切,,这与题设矛盾,又,
故.
而令
当时,单调递减;当时,单调递增,故当时,取最小值
于是对一切恒成立,当且仅当
.①
令则
当时,单调递增;当时,单调递减.
故当时,取最大值.因此,当且仅当即时,①式成立.
综上所述,的取值集合为.
(Ⅱ)由题意知,
令则
令,则.
当时,单调递减;当时,单调递增.
故当,即
从而,又
所以
因为函数在区间上的图像是连续不断的一条曲线,所以存在使单调递增,故这样的是唯一的,且.故当且仅当时,.
综上所述,存在使成立.且的取值范围为
.
本题考查利用导函数研究函数单调性、最值、不等式恒成立问题等,考查运算能力,考查分类讨论思想、函数与方程思想,转化与划归思想等数学思想方法.第一问利用导函数法求出取最小值对一切x∈R,f(x)1恒成立转化为,从而得出a的取值集合;第二问在假设存在的情况下进行推理,通过构造函数,研究这个函数的单调性及最值来进行分析判断.
科目:高中数学 来源:山东省潍坊市2012届高三一轮模拟考试数学文科试题 题型:013
已知函数f(x)=e|lnx|-|x-|,则函数y=f(x+1)的大数图象为
A.
B.
C.
D.
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科目:高中数学 来源:山东省东营市2012届高三一模(3月)数学理科试题 题型:013
已知函数f(x)=e|lnx|-|x-|,则函数y=f(x+1)的大致图象为
A.
B.
C.
D.
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科目:高中数学 来源:2012年普通高等学校招生全国统一考试上海卷理科数学 题型:022
已知函数f(x)=e|x-a|(a为常数).若f(x)在区间[1,+∞)上是增函数,则a的取值范围是________.
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科目:高中数学 来源:北京市海淀区2012届高三5月查漏补缺数学试题 题型:044
已知函数f(x)=e-xsin(其中e=2.718…).
(Ⅰ)求f(x)的单调区间;
(Ⅱ)求f(x)在[-π,+∞)上的最大值与最小值.
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