Question

下列叙述中：
①函数f（x）=x^α（α∈R）的图象可能通过坐标系中任何一个象限；
②函数f（x）=log_a（mx²-mx+1）（a＞0，a≠1）定义域为R，则m∈（0，4）；
③若min{m，n}=

m (m≤n) n (m＞n)

，则函数f（x）=min{x

1

3

，2^x-2，1-3x}存在最大值；
④函数f（x）=log_a（a^x-1）（a＞0，a≠1）在定义域内单调递增；
⑤已知函数f（x）=x³+bx+clog_a（

x2+1

+x）+2（a＞0，a≠1，b，c∈R），若x＞0时，f（x）≥5，则x＜0时，有f（x）≤-1．
其中，正确命题的序号是

 

．

Answer 1

考点：命题的真假判断与应用

专题：函数的性质及应用

分析：本题可以利用函数的定义域、值域、函数图象特征研究上述问题，判断其正确性，对于不正确的命题，可以列出反例加以说明．

解答： 解：（1）函数f（x）=x^α（α∈R）中，
当x＞0时，x^α＞0，
∴函数f（x）=x^α（α∈R）的图象不通过坐标系中第四象限．
故命题①不正确；
（2）当函数f（x）=log_a（mx²-mx+1）（a＞0，a≠1）定义域为R，
可取m=0，得到f（x）=log_a1=0，定义域为R，
而m∉（0，4）．
故命题②不正确；
（3）∵取小函数min{m，n}=

m (m≤n) n (m＞n)

，
函数f（x）=min{x

1

3

，2^x-2，1-3x}，
∴f（x）的图象草图为下图中

曲线y=x

1

3

位于点A左侧部分，以及y=2^x-2位于点A、B间的部分，和y=1-3x位于点B右侧的部分．
最高点为点B．
∴函数f（x）=min{x

1

3

，2^x-2，1-3x}存在最大值．
命题③正确；
（4）当0＜a＜1时，
u=a^x-1为（-∞，0）上的减函数，值域（0，+∞），
y=log_au为（0，+∞）上的减函数；
∴函数f（x）=log_a（a^x-1）（a＞0，a≠1）定义域为（-∞，0），
∴函数f（x）=log_a（a^x-1）（a＞0，a≠1）在（-∞，0）内单调递增；
当a＞1时，
u=a^x-1为（0，+∞）上的增函数，值域（0，+∞），
y=log_au为（0，+∞）上的增函数；
∴函数f（x）=log_a（a^x-1）（a＞0，a≠1）定义域为（0，+∞），
即函数f（x）=log_a（a^x-1）（a＞0，a≠1）在（0，+∞）内单调递增；
综上，函数f（x）=log_a（a^x-1）（a＞0，a≠1）在定义域内单调递增，
故命题④正确；
（5）∵函数g（x）=x³+bx+clog_a（

x2+1

+x）（a＞0，a≠1，b，c∈R），
∴函数g（x）为奇函数．
∵函数f（x）=x³+bx+clog_a（

x2+1

+x）+2（a＞0，a≠1，b，c∈R），
若x＞0时，f（x）≥5，则g（x）≥3，
则x＜0时，有g（x）≤-3，f（x）≤-1．
故命题⑤正确．
故答案为：③④⑤．

点评：本题考查了函数的定义域、值域、函数图象，本题难度不大，属于基础题．