Question

已知椭圆，点在椭圆上。

（1）求椭圆的离心率；

（2）若椭圆的短半轴长为，直线与椭圆交于A、B，且线段AB以M(1，1)为中点，求直线的方程。

 

Answer 1

【答案】

（1）；   （2）直线方程为：。

【解析】

试题分析：(1)因为点在椭圆上，所以，即，

又，所以。

（2）因为椭圆的短半轴长为，所以，所以椭圆方程为：，

设，则，，两式相减，得：，因为线段AB以M(1，1)为中点，，所以，即，所以直线方程为：。

考点：本题考查椭圆的简单性质；直线与椭圆的综合应用。

点评：利用直线和圆锥曲线的两个交点，把交点代入圆锥曲线的方程，并作差。求出直线的斜率，然后利用中点求出直线方程。这种方法为点差法。一般情况下，遇到弦中点的问题可以先考虑点差法。  利用点差法可以减少很多的计算，所以在解有关的问题时用这种方法比较好。点差法适应的常见问题：   弦的斜率与弦的中点问题。