Question

11．已知函数f（x）=lg（-x²+2x+3）．
（1）求函数f（x）的值域；
（2）求函数f（x）的单调区间．

Answer 1

分析 （1）令t=-x²+2x+3，先由二次函数的性质，求出t的范围，进而可得函数f（x）的值域；
（2）先确定函数的定义域，进而分析内外函数在不同区间上的单调性，结合复合函数“同增异减”的原则，可得函数f（x）的单调区间．

解答 解：（1）令t=-x²+2x+3=-（x-1）²+4，
则t∈（0，4]，
故y=f（x）=lgt∈（-∞，lg4]；
（2）由-x²+2x+3＞0得：x∈（-1，3），
由t=-x²+2x+3在（-1，1]上为增函数，在[1，3）上为减函数；
y=lgt为增函数，
故函数f（x）的单调递增区间为（-1，1]，单调递减区间为[1，3）

点评 本题考查的知识点是对数函数的图象和性质，函数的定义域和值域，函数的单调区间，复合函数的单调性，难度中档．