Question

12、设函数y=f（x+1）是定义在（-∞，0）∪（0，+∞）上的偶函数，在区间（-∞，0）是减函数，且图象过点（1，0），则不等式（x-1）f（x）≤0的解集为（　　）

A、（-∞，0）∪[2，+∞）

B、（-2，0）∪[2，+∞）

C、（-∞，0]∪（1，2]

D、（-∞，0）∪（1，2）

Answer 1

分析：根据不等式（x-1）f（x）≤0，由积商符号法则，得到f（x）≥0，或f（x）≤0，根据函数y=f（x+1）是定义在（-∞，0）∪（0，+∞）上的偶函数，在区间（-∞，0）是减函数，得到函数f（x）的对称性和单调性，根据函数的单调性解不等式f（x）≥0，或f（x）≤0．

解答：解：∵函数y=f（x+1）是定义在（-∞，0）∪（0，+∞）上的偶函数，
∴函数f（x）的图象关于直线x=1对称，
又∵函数y=f（x+1）在区间（-∞，0）是减函数，
∴函数f（x）在区间（-∞，1）是减函数，在区间（1，+∞）是增函数，
又f（2）=0
∴f（0）=0
∴当x＞1时，f（x）≤0=f（2）
∴1＜x≤2
当x＜1时，f（x）≥0=f（0）
∴x≤0，∴x≤0．
综上x≤0或1＜x≤2．
故选C．

点评：考查函数的单调性和奇偶性，以及函数图象的平移和根据函数的单调性把函数值不等式转化为自变量不等式，体现了转化、运动变化和分类讨论的思想方法，属中档题．