Question

7．已知x，y为正实数，令a=x+y，b=$\sqrt{{x}^{2}+xy+{y}^{2}}$，c=m$\sqrt{xy}$，若存在正实数m，使得对任意的x，y，均能以a，b，c为三边构成一个三角形，则正实数m的取值范围是（2-$\sqrt{3}$，2+$\sqrt{3}$）．

Answer 1

分析 x，y为正实数，a²-b²=xy＞0，可得：a＞b．由于存在正实数m，使得对任意的x，y，均能以a，b，c为三边构成一个三角形，可得$\left\{\begin{array}{l}{a+b＞c}\\{a-b＜c}\end{array}\right.$，即$\left\{\begin{array}{l}{x+y+\sqrt{{x}^{2}+xy+{y}^{2}}＞m\sqrt{xy}}&{①}\\{x+y-\sqrt{{x}^{2}+xy+{y}^{2}}＜m\sqrt{xy}}&{②}\end{array}\right.$，变形转化，利用基本不等式的性质与函数的单调性即可得出．

解答 解：∵x，y为正实数，a²-b²=xy＞0，∴a＞b．
∵存在正实数m，使得对任意的x，y，均能以a，b，c为三边构成一个三角形，
∴$\left\{\begin{array}{l}{a+b＞c}\\{a-b＜c}\end{array}\right.$，即$\left\{\begin{array}{l}{x+y+\sqrt{{x}^{2}+xy+{y}^{2}}＞m\sqrt{xy}}&{①}\\{x+y-\sqrt{{x}^{2}+xy+{y}^{2}}＜m\sqrt{xy}}&{②}\end{array}\right.$，
令$\frac{x}{y}$=t，由①化为：f（t）=$\sqrt{t}$+$\frac{1}{\sqrt{t}}$+$\sqrt{t+\frac{1}{t}+1}$＞m，∴f（t）≥2+$\sqrt{3}$，当且仅当t=1时取等号，∴m$＜2+\sqrt{3}$．
由②化为：g（t）=$\sqrt{t}$+$\frac{1}{\sqrt{t}}$-$\sqrt{t+\frac{1}{t}+1}$＜m，令$\sqrt{t}+\frac{1}{\sqrt{t}}$=k≥2，则g（t）=k-$\sqrt{{k}^{2}-1}$=u（k）=$\frac{1}{k+\sqrt{{k}^{2}-1}}$，在k∈[2，+∞）上单调递减，
∴u（k）_max=u（2）=2-$\sqrt{3}$＜m．
综上可得m的取值范围是：2-$\sqrt{3}$＜m$＜2+\sqrt{3}$．
故答案为：（2-$\sqrt{3}$，2+$\sqrt{3}$）．

点评 本题考查了函数的单调性、基本不等式的性质、组成三角形的条件，考查了推理能力与计算能力，属于难题．