Question

18．已知复数z满足|z|=$\frac{1}{2}$
（1）求|4z-$\frac{1}{z}$|的取值范围
（2）若ω=3-zi．求复数ω对应点的轨迹方程．

Answer 1

分析 （1）设z=a+bi，则${a}^{2}+{b}^{2}=\frac{1}{4}$，|4z-$\frac{1}{z}$|=|4a+4bi-$\frac{1}{a+bi}$|=|4bi|，由此能求出|4z-$\frac{1}{z}$|的取值范围．
（2）由ω=3-zi，得|z|=|（ω-3）i|，从而（ω-3）²=（-zi）²=${a}^{2}+{b}^{2}=\frac{1}{4}$，ω=$\frac{7}{2}$，由此能求出ω=3-zi对应的对应点的轨迹方程．

解答 解：（1）设z=a+bi，
∵复数z满足|z|=$\frac{1}{2}$，∴${a}^{2}+{b}^{2}=\frac{1}{4}$，
∴0$≤{b}^{2}≤\frac{1}{4}$，0≤16b²≤4，
∴|4z-$\frac{1}{z}$|=|4a+4bi-$\frac{1}{a+bi}$|=|4bi|=$\sqrt{16{b}^{2}}$∈[0，2]．
∴|4z-$\frac{1}{z}$|的取值范围是[0，2]．
（2）∵ω=3-zi，∴z=$\frac{3-ω}{i}$=（ω-3）i，∴|z|=|（ω-3）i|，
∵（ω-3）²=（-zi）²=（-b+ai）=${a}^{2}+{b}^{2}=\frac{1}{4}$，∴ω-3=$\frac{1}{2}$，ω=$\frac{7}{2}$，
∴ω=3-zi=3+b-ai，
∴|ω|=$\sqrt{{a}^{2}+（3+b）^{2}}$=$\frac{7}{2}$，
∴ω=3-zi对应的对应点的轨迹方程为a²+（b+3）²=$\frac{49}{4}$．

点评 本题考查复数的模的取值范围的求法，考查复数对应的点的轨迹方程的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意复数的模的性质的合理运用．