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18.已知复数z满足|z|=$\frac{1}{2}$
(1)求|4z-$\frac{1}{z}$|的取值范围
(2)若ω=3-zi.求复数ω对应点的轨迹方程.

分析 (1)设z=a+bi,则${a}^{2}+{b}^{2}=\frac{1}{4}$,|4z-$\frac{1}{z}$|=|4a+4bi-$\frac{1}{a+bi}$|=|4bi|,由此能求出|4z-$\frac{1}{z}$|的取值范围.
(2)由ω=3-zi,得|z|=|(ω-3)i|,从而(ω-3)2=(-zi)2=${a}^{2}+{b}^{2}=\frac{1}{4}$,ω=$\frac{7}{2}$,由此能求出ω=3-zi对应的对应点的轨迹方程.

解答 解:(1)设z=a+bi,
∵复数z满足|z|=$\frac{1}{2}$,∴${a}^{2}+{b}^{2}=\frac{1}{4}$,
∴0$≤{b}^{2}≤\frac{1}{4}$,0≤16b2≤4,
∴|4z-$\frac{1}{z}$|=|4a+4bi-$\frac{1}{a+bi}$|=|4bi|=$\sqrt{16{b}^{2}}$∈[0,2].
∴|4z-$\frac{1}{z}$|的取值范围是[0,2].
(2)∵ω=3-zi,∴z=$\frac{3-ω}{i}$=(ω-3)i,∴|z|=|(ω-3)i|,
∵(ω-3)2=(-zi)2=(-b+ai)=${a}^{2}+{b}^{2}=\frac{1}{4}$,∴ω-3=$\frac{1}{2}$,ω=$\frac{7}{2}$,
∴ω=3-zi=3+b-ai,
∴|ω|=$\sqrt{{a}^{2}+(3+b)^{2}}$=$\frac{7}{2}$,
∴ω=3-zi对应的对应点的轨迹方程为a2+(b+3)2=$\frac{49}{4}$.

点评 本题考查复数的模的取值范围的求法,考查复数对应的点的轨迹方程的求法,是基础题,解题时要认真审题,注意复数的模的性质的合理运用.

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