Question

7．设命题$p：a∈\{y|y=\sqrt{-{x^2}+2x+8}，x∈R\}$，命题q：关于x的方程x²+x-a=0有实根．
（1）若p为真命题，求a的取值范围；
（2）若“p∧q”为假命题，且“p∨q”为真命题，求a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）若p为真命题，根据根式成立的条件进行求解即可求a的取值范围；
（2）若“p∧q”为假命题，且“p∨q”为真命题，得到p与q一真一假，即可求a的取值范围．

解答 解：（1）由题意得，$y=\sqrt{-{x^2}+2x+8}=\sqrt{-{{（x-1）}^2}+9}∈[0，3]$
故p为真命题时a的取值范围为[0，3]．
（2）故q为真命题时a的取值范围为$a≥-\frac{1}{4}$
由题意得，p与q一真一假，从而
当p真q假时有  $\left\{\begin{array}{l}0≤a≤3\\ a＜-\frac{1}{4}\end{array}\right.$a无解；
当p假q真时有$\left\{\begin{array}{l}a＜0或a＞3\\ a≥-\frac{1}{4}\end{array}\right.$∴$a＞3或-\frac{1}{4}≤a＜0$．      
∴实数a的取值范围是$[-\frac{1}{4}，0）∪（3，+∞）$．

点评 本题主要考查复合命题的真假判断以及真假关系的应用，求出命题成立的等价条件是解决本题的关键．