Question

设M点是圆C：x²+（y-4）²=4上的动点，过点M作圆O：x²+y²=1的两条切线，切点分别为A，B，切线MA，MB分别交x轴于D，E两点．是否存在点M，使得线段DE被圆C在点M处的切线平分？若存在，求出点M的纵坐标；若不存在，说明理由．

Answer 1

分析：设存在点M（x₀，y₀）满足条件，设过点M且与圆O相切的直线方程为：y-y₀=k（x-x₀）通过点到直线的距离公式，求出直线MA，MB的斜率分别为k₁，k₂的关系，通过圆C在点M处的切线方程，求出切线与x轴的交点坐标，D，E的坐标，然后利用斜率关系式求出点M的纵坐标．

解答：解：设存在点M（x₀，y₀）满足条件
设过点M且与圆O相切的直线方程为：y-y₀=k（x-x₀）
则由题意得，

|-kx0+y0|

1+k2

=1，化简得：(x02-1)k2-2x0y0k+y02-1=0
设直线MA，MB的斜率分别为k₁，k₂，则k1+k2=

2x0y0

x02-1

，k1k2=

y02-1

x02-1

圆C在点M处的切线方程为y-y0=

-x0

y0-4

(x-x0)
令y=0，得切线与x轴的交点坐标为(

y02-4y0

x0

+x0，0)
又得D，E的坐标分别为(

-y0

k1

+x0，0)，(

-y0

k2

+x0，0)
由题意知，2(

y02-4y0

x0

+x0)=

-y0

k1

+x0+

-y0

k2

+x0
用韦达定理代入可得，

y 0-4

x0

=

-x0y0

y02-1

，与x02+(y0-4)2=4联立，
得y0=

13+ 105

8

点评：本题考查直线与圆的位置关系，点到直线的距离公式的应用，圆的切线方程的应用，考查分析问题解决问题的能力．