Question

16、已知真命题：若A为⊙O内一定点，B为⊙O上一动点，线段AB的垂直平分线交直线OB于点P，则点P的轨迹是

O、A为焦点，OB长为长轴长的椭圆

．类比此命题，写出另一个真命题：若A为⊙O外一定点，B为⊙O上一动点，线段AB的垂直平分线交直线OB于点P，则点P的轨迹是

以O，A为焦点，OB为实轴长的双曲线

．

Answer 1

分析：本题考察的知识点为，利用合情推理，结合椭圆、双曲线的定义及圆与直线的相关性质，推导新的结论．熟练掌握椭圆、双曲线的定义及圆与直线的性质是解决问题的关键．

解答：解：（1）∵A为⊙O内一定点，B为⊙O上一动点
线段AB的垂直平分线交直线OB于点P，
则PA=PB，则PA+P0=PB+PO=OB=R
即动点P到两定点O、A的距离和为定值，
根据椭圆的定义，可得点P的轨迹是：O、A为焦点，OB长为长轴长的椭圆
（2）∵A为⊙O外一定点，B为⊙O上一动点
线段AB的垂直平分线交直线OB于点P，
则PA=PB，则PA-P0=PB-PO=OB=R
即动点P到两定点O、A的距离差为定值，
根据双曲线的定义，可得点P的轨迹是：以O，A为焦点，OB为实轴长的双曲线

点评：椭圆是平面上到两定点的距离之和为常值的点之轨迹，也可定义为到定点距离与到定直线间距离之比为常值的点之轨迹．双曲线是指与平面上两个定点的距离之差的绝对值为定值的点的轨迹，也可以定义为到定点与定直线的距离之比是一个大于1的常数的点之轨迹．