Question

3．曲线y=x²+ax+b与曲线2y=-1+xy³相切于点（1，-1），则a，b的值分别为-1，-1．

Answer 1

分析 求出两个函数对x的导函数在切点（1，-1）的值，即两条曲线公切线的斜率，列出方程，求出a，将切点（1，-1）代入第一条曲线方程，求出b的值．

解答 解：对y=x²+ax+b关于x求导可得，
y'=2x+a，y'|_x=1=2+a，
对2y=-1+xy³关于x求导可得，
2y′=y³+3xy²y′
解得y'=$\frac{{y}^{3}}{2-3x{y}^{2}}$，
所以y'|_x=1=$\frac{-1}{2-3}$=1，
所以有2+a=1，解得a=-1，
将点（1，-1）坐标代入y=x²+ax+b，有-1=1+a+b，
又a=-1，所以b=-2+1=-1
所以a=-1，b=-1．
故答案为：-1，-1．

点评 本题考查求曲线的切线的问题时，一定要注意曲线的函数在切点处的导数值为切线的切线斜率．