Question

3．如图所示，四棱锥P-ABCD的底面ABCD是边长为1的菱形，∠BCD=60°，E是CD的中点，PA⊥底面ABCD，PA=2．
（Ⅰ）证明：平面PBE⊥平面PAB；
（Ⅱ）求二面角B-PE-D的余弦值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）连结BD，推导出BE⊥AB，PA⊥BE，从而BE⊥平面PAB，由此能证明平面PBE⊥平面PAB．
（Ⅱ）以点E为坐标原点，EB所在直线为x轴，EC所在直线为y轴，过点E垂直于平面ABCD的直线为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角B-PE-D的余弦值．

解答 证明：（Ⅰ）连结BD，
∵四棱锥P-ABCD的底面ABCD是边长为1的菱形，∠BCD=60°，
E是CD的中点，PA⊥底面ABCD，
∴BE⊥AB，PA⊥BE，
∵AB∩PA=A，∴BE⊥平面PAB，
∵BE?平面PBE，∴平面PBE⊥平面PAB．
解：（Ⅱ）由（Ⅰ）知BE⊥CD，又PA⊥底面ABCD，
以点E为坐标原点，EB所在直线为x轴，EC所在直线为y轴，
过点E垂直于平面ABCD的直线为z轴，建立空间直角坐标系，
则E（0，0，0），B（$\frac{\sqrt{3}}{2}$，0，0），D（0，-$\frac{1}{2}$，0），A（$\frac{\sqrt{3}}{2}$，-1，2），
$\overrightarrow{PB}$=（0，1，2），$\overrightarrow{EB}$=（$\frac{\sqrt{3}}{2}$，0，0），$\overrightarrow{ED}$=（0，-$\frac{1}{2}$，0），$\overrightarrow{EP}$=（$\frac{\sqrt{3}}{2}$，-1，2），
设平面BPE的法向量$\overrightarrow{n}$=（x，y，z），
则$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{PB}=y+2z=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{EB}=\frac{\sqrt{3}}{2}x=0}\end{array}\right.$，取y=2，得$\overrightarrow{n}$=（0，2，-1），
设平面DPE的法向量$\overrightarrow{m}$=（a，b，c），
则$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{ED}=-\frac{1}{2}b=0}\\{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{EP}=\frac{\sqrt{3}}{2}a-b+2c=0}\end{array}\right.$，取a=2$\sqrt{3}$，得$\overrightarrow{m}$=（2$\sqrt{3}$，0，-$\frac{3}{2}$），
设二面角B-PE-D的平面角为θ，
cosθ=$\frac{|\overrightarrow{m}•\overrightarrow{n}|}{|\overrightarrow{m}|•|\overrightarrow{n}|}$=$\frac{\frac{3}{2}}{\sqrt{5}•\sqrt{\frac{57}{4}}}$=$\frac{3\sqrt{285}}{285}$．
∴二面角B-PE-D的余弦值为$\frac{3\sqrt{285}}{285}$．

点评 本题考查面面垂直行的证明，考查二面角的余弦值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．